重積分を教えてください。

質問

∬√(y-x^2) dxdy D:|x|≦y≦1

回答No.2

info222_

I=∬[D]√(y-x^2) dxdy, D:={(x,y)| |x|≦y≦1)
[解答]
I=∫[0,1] {∫[-y,y] (y-x^2)^(1/2)dx}dy
=∫[0,1] {[(x/2)(y-x^2)^(1/2)+(y/2)sin^-1(x/y^(1/2))][-y,y]}dy
=∫[0,1] {y(y-y^2)^(1/2)+ysin^-1(y^(1/2))}dy
=(7/32)π

[別解]
被積分関数はxの偶関数なので
I=2∬[D']√(y-x^2) dxdy, D’:={(x,y)| 0≦x≦y≦1)
=2∫[0,1]{∫[x,1] (y-x^2)^(1/2)dy}dx
=2∫[0,1]{[(2/3)(y-x^2)^(3/2)][x,1]}dx
=2∫[0,1](2/3){-(x-x^2)^(3/2)+(1-x^2)^(3/2)}dx
=(7/32)π

回答No.1

Ae610

∬√(y-x^2) dxdy D:|x|≦y≦1
= ∫[-1→0]dx∫[-x→1]{√(y-x^2) }dy + ∫[0→1]dx∫[x→1]{√(y-x^2) }dy
= 2/3

(一応検算してみて・・!)