三角比の問題です

質問

0°≦x≦180°とする。
(1)4sin^2x-4cosx=1となるxを求めなさい。
(2)sinx-cosx=1/2のとき、tanx+1/tanxの値を求めなさい。

この２問が解けません。

回答No.3

gohtraw

（１）
ｃｏｓｘ＝Ｘとおくとｓｉｎ＾２ｘ＝１－Ｘ＾２　なので元の式は
４（１－Ｘ＾２）－４Ｘ－１＝０
－４Ｘ＾２－４Ｘ＋３＝０
ー（２Ｘー１）（２Ｘ＋３）＝０
Ｘ＝１／２、－３／２
ｃｏｓｘ＞＝－１なのでＸ＝１／２
よってｘ＝６０°
（２）
ｔａｎｘ＋１／ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ＋ｃｏｓｘ／ｓｉｎｘ
　　　　　　　　　　　＝（ｓｉｎ＾２＋ｃｏｓ＾２）／ｓｉｎｘｃｏｓｘ
　　　　　　　　　　　＝１／ｓｉｎｘｃｏｓｘ　・・・（あ）
ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＝１／２　の両辺を二乗して
ｓｉｎ＾２ｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ＾２ｘ＝１／４
ｓｉｎ＾２ｘ＋ｃｏｓ＾２ｘ＝１なので
－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝－３／４
ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝３／８
これを（あ）に代入すればＯＫです。

回答No.2

BookerL

(1)
sin^2ｘ ＋ cos^2ｘ ＝ １ より、sin^2ｘ ＝ １－cos^2ｘ として、これを代入すると

４（ １－cos^2ｘ ） － ４cosｘ ＝ １

となり、これは cos^2ｘ についての２次方程式です。これを解くと解が二つ出てきますが、－１≦cosｘ≦１の範囲ですから、cosｘがただ一つ求まり、ここから ｘ が求まります。

(2)
tanｘ＝sinｘ/cosｘ　と使うと

　tanｘ ＋ １/tanｘ 　＝　sinｘ/cosｘ ＋ cosｘ/sinｘ
通分して　　　　　　　＝　(sin^2ｘ ＋ cos^2ｘ)/sinｘcosｘ
分子は１なので　　　＝１/sinｘcosｘ

となるので、sinｘcosｘ　の値がわかればいいわけです。

sinｘ－cosｘ＝１/２　の両辺をそれぞれ２乗すると　sin^2ｘ － ２sinｘcosｘ ＋ cos^2ｘ ＝ １/４　となり、ここに、sin^2ｘ ＋ cos^2ｘ ＝ １　を使うと　sinｘcosｘ の値が求まります。

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以下、念のため途中を書いてみますが、計算は自分でやって確認してください。

(1)
４（ １－cos^2ｘ ） － ４cosｘ ＝ １
４cos^2ｘ ＋ ４cosｘ － ３ ＝ ０
(２cosｘ ＋ ３)(２cosｘ－１)＝０
cosｘ＝－３/２、１/２　
－１≦cosｘ≦１　より cosｘ＝１/２　、　ｘ＝６０°

(2)
sin^2ｘ － ２sinｘcosｘ ＋ cos^2ｘ ＝ １/４
２sinｘcosｘ＝３/４
sinｘcosｘ＝３/８

tanｘ ＋ １/tanｘ ＝ １/sinｘcosｘ
　　　　　　　　　　＝８/３

回答No.1

yasu2209

丸投げに近いのでヒントにしますね。

1)
4sin^2x-4cosx=1
4sin^2x-4cosx+1-1=1
4sin^2x-4cosx+1=0
( )^2=0

答えは１つでないことに注意。

2)
tanx+1/tanx=sinx/cosx+cosx/sinx
=(sin^2x+cos^2x)/(sinx・cosx)
=1/(sinx・cosx)　　(1)

ここで
　sinx-cosx=1/2 両辺２乗して
　sin^2x-2sinx・cosx+cos^2x=1/4
sin^2x+cos^2x-1/4=2sonx・cosx

これで2sonx・cosxの値が求まりますから
　先ほどの(1)式に代入。

　でいかがでしょうか。

　40年ぶりの三角関数なので間違ってるかもしれませんけど　（＾＾ヾ