数学の問題を教えてください

質問

(1)sinα=3/5、cosβ=12/13のとき、sin(α+β)、cos(α-β)の値を求めよ。
ただし、π/2＜α＜π、0＜β＜π/2とする。

(2)tanπ/2=tのとき、sinx、cosx、tanxをtを用いて表せ。

(1)と(2)は関係のない別々の問題です。
どうしたらいいのかわかりません。
すみませんが教えてください

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞(1)sinα=3/5、cosβ=12/13のとき、sin(α+β)、cos(α-β)の値を求めよ。
＞ただし、π/2＜α＜π、0＜β＜π/2とする。
cos^2α＝１－sin^2α＝１－(3/5)^2＝16/25　
π/2＜α＜πより、cosα＜０だから、　cosα＝-4/5
同様にして、0＜β＜π/2より、sinβ＞０だから、sinβ＝5/13
sin(α+β)＝（3/5）×（12/13）＋（-4/5）×（5/13）＝
cos(α-β)＝（-4/5）×（12/13）＋（3/5）×（5/13）＝

加法定理と計算の途中を確認して下さい。

＞(2)tanπ/2=tのとき、sinx、cosx、tanxをtを用いて表せ。
もしも、tan(x/2)＝ｔとすると、
２倍角の公式より、
＞tan(x)＝tan(２×x/2)
＝２tan(x/2)／｛１－tan^2(x/2)｝
＝２ｔ／（１－ｔ^2）

＞sin(x)＝sin(２×x/2)
＝２sin(x/2)cos(x/2)
＝２｛sin(x/2)／cos(x/2)｝×cos^2(x/2)
＝２tan(x/2)×cos^2(x/2)
＝２ｔ×cos^2(x/2)
ここで、１＋tan^2(x/2)＝１／cos^2(x/2)より、
cos^2(x/2)＝１／｛１＋tan^2(x/2)｝
＝１／（１＋ｔ^2）だから、
sin(x)＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

＞cos(x)＝cos(２×x/2)
＝cos^2(x/2)－sin^2(x/2)
＝［｛cos^2(x/2)－sin^2(x/2)｝／cos^2(x/2)］×cos^2(x/2)
＝｛１－（sin(x/2)／cos(x/2)）^2｝×cos^2(x/2)
＝（１－tan^2(x/2)）×cos^2(x/2)
＝（１－ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

計算を確認して下さい。

お礼

丁寧に教えてくださってありがとうございます。
助かりました。参考にします。

回答No.2

kaztel-D4C

(1)sin(α+β),cos(α-β)は共に加法定理で展開します。それは大丈夫ですか？無理なら教科書に載っているので暗記するのをオススメします。
その時に、sinαとcosβに問題文の値を代入するのですが、その他にsinβとcosαが出てしまうので、その値を別に求めます。

具体的には、sin^2(θ)+cos^2(θ)=1の公式(これも覚えていなければ覚えてください)に、sinαを代入すればcosαが、cosβを代入すればsinβが出てきます。
ただし、α、βの範囲がそれぞれ決まっているので、cosαとsinβの符号に注意してください。

(2)については、No.1の方のおっしゃる通り、解けません。
tan(π/2)となっているので、値としては無しになります。問題の写し間違いではないでしょうか？もう一度確認してみてください。

お礼

丁寧に教えてくださってありがとうございます。
助かりました。
確認しましたが、(2)は写し間違いではないようです…。

回答No.1

Tacosan

「加法定理」って知ってる?

(2) は無理.

お礼

ありがとうございました。