数学の問題です

質問

数IIの問題です。

整式 ｆ(χ)についての恒等式ｆ(χ＾2)=χ＾3・ｆ(χ+1)-2χ＾4+2χ^2　が成り立つとする。
（１）ｆ（0）、ｆ(1)、ｆ(2)の値を求めよ。
（２）ｆ（χ）の次数を求めよ。
（３）ｆ（χ）を決定せよ。

・は掛け算と思ってください。すいませんが、おねがいしますｍ(_ _)ｍ

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> （１）ｆ（0）、ｆ(1)、ｆ(2)の値を求めよ。

恒等式にいろんなxを代入してみると求まります。
例えばx = 0を代入すると
ｆ(0) = 0＾3・ｆ(1) - 2・0＾4 + 2・0^2 = 0
と求まります。

次にf(1)を求める事を目指します。
試しにx = 1を代入すると、
f(1) = f(2) - 2 + 2 = f(2)
となって、今度は残念ながら求まりませんでした。

左辺がf(x^2)なので、f(1)を左辺に作るにはx = -1でもOKです。
これを代入すると
f(1) = (-1)^3・f(0) -2 + 2 = 0
となります。
これでf(1)も求まりました。

f(2)に関しては、恒等式にx = 1を代入した場合に
f(1) = f(2)
という結果が得られているので、f(2) = 0であることが分かります。

> （２）ｆ（χ）の次数を求めよ。

f(x)がn次式なら、f(x^2)は2n次式です。
これを元に何次式かを考えてみればよいのではないでしょうか。
とりあえずf(x) = 0となるxが3つ分かっているので、
f(x)は少なくとも3次式です。

例えばf(x)が3次式と仮定してみると、
ｆ(x＾2) = x＾3・ｆ(x+1)-2x＾4+2x^2
の左辺は6次式、右辺も6次式です。
これは合致しています。

f(x)が4次式と仮定すると、
ｆ(x＾2) = x＾3・ｆ(x+1)-2x＾4+2x^2
の左辺は8次式、右辺は7次式で矛盾します。

こんな感じで考えていくと、多分
「f(x)は3次式以外にありえない」という結論が得られると思います。
ちゃんと証明していないので、本当に合っているかは分かりませんが。

> （３）ｆ（χ）を決定せよ。

f(x) = 0がx = 0, 1, 2の時に成り立つので、
因数定理よりf(x) = ax(x - 1)(x - 2)の形をしていると考える事ができます
(f(x)が本当に3次式ならば)。
あとはこの式を恒等式に当てはめて、aの値を求めればよいと思います。

回答No.5

mister_moonlight

補足しておく。

＞ｆ(χ)は整式だから、その次数をn(＝自然数)とする。
＞ｆ(χ＾2)の次数は　2n、右辺の最大次数項は　x＾(n＋3)　したがって、2n＝n＋3　だからn＝3

n≧1から　n＋3≧4。よって、右辺の最大次数は　n＋3　となる。
n＋3＝4　つまり、n＝1の時、ｆ(χ)は1次式だが、3つの異なる値に対して　0　となる事はないから、右辺の最大次数は　4ではなくて　n＋3。

回答No.4

mister_moonlight

＞ｆ(χ)＝ax＾3＋bx＾2＋cx＋d　(a≠0)として、条件式に代入してやり、それが恒等式だから、右辺と左辺の同じ次数の係数は等しい、として求める。

見逃してたが、(1)から　ｆ(0)＝ｆ(1)＝ｆ(2)＝0だから、ｆ(χ)＝ax*(x-1)*(x-2)と置ける。但し、a≠0.　として、やった方が簡単だね。

回答No.3

mister_moonlight

＞（２）ｆ（χ）の次数を求めよ。

ｆ(χ)は整式だから、その次数をn(＝自然数)とする。
ｆ(χ＾2)の次数は　2n、右辺の最大次数項は　x＾(n＋3)　したがって、2n＝n＋3　だからn＝3

ｆ(χ)＝ax＾3＋bx＾2＋cx＋d　(a≠0)として、条件式に代入してやり、それが恒等式だから、右辺と左辺の同じ次数の係数は等しい、として求める。
実際の計算は、自分でやって。

回答No.1

info22_

(1)
x=0とおいて
f(0)=0
x=1とおいて
f(1)=f(2)
x=-1とおいて
f(1)=-f(0)
∴f(0)=f(1)=f(2)=0

(2)
f(x)は明らかに0や定数ではない。
f(x)は2次でもない。
f(x)は4次以上ではない。
f(x)を1次とすると
f(x)=ax+bとおける
ax^2+b=x^3*{a(x+1)+b}-2x^4+2x^2
=(a-2)x^4+(a+b)x^3+2x^2
恒等式となるための条件
a=2,b=0,a+b=0
これを満たすa,bが存在しない。
f(x)は1次ではない。
f(x)は3次しかありえない。

(3)
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおくと
(1)の結果から
f(0)=d=0
f(1)=a+b+c+d=0
f(2)=8a+4b+2c+d=0

a+b+c=0
6a+2b=0 ∴b=-3a
∴c=-a-b=2a
∴f(x)=ax^3-3ax^2+2ax=a(x^3-3x^2+2x) …(△)
恒等式に代入
a(x^6-3x^4+2x^2)=ax^3{(x+1)^3-3(x+1)^2+2(x+1)}-2x^4+2x^2
=ax^6-(a+2)x^4+2x^2
恒等式だあるための必要十分条件から
3a=a+2,2a=2
∴a=1
(△)に代入
∴f(x)=x^3-3x^2+2x