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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：整式の条件を使う(?)問題）
整式の条件を使う問題
このQ&Aのポイント
- 整式の条件を使用した問題について考えています。条件Iの整式f(x)が与えられ、f(6)=f(-6)が成り立つことを示す方法を教えてください。
- また、条件IIを満たす6次の整式g(x)の例を示し、条件IIが成り立つことを示してください。
- お手数ですが、回答をいただけると助かります。
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(1)f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+gとおきます。 F(x)=f(x)-f(-x)とおくと、F(x)=x(bx^4+dx^2+e)となり、これの解はx=0,x=±α, x=±βの5個です。ところが、条件よりx=±1,±2,±3が解となるため、矛盾します。これは括弧の中が方程式ではなく恒等式だからです。つまりb=d=e=0だからです。 ゆえにF(x)=0が恒等的に成り立ちますから、任意のxについてf(x)=f(-x), よってf(6)=f(-6)です。 (2)たとえばg(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-6)(x-5)なんてのはどうでしょう。明らかに g(1)=g(-1)=0, g(2)=g(-2)=0,g(6)=0,g(-6)≠0 （最後の式はどのかっこも-6を代入して0にならないから明らか）です。
