整式の条件を使う(?)問題

質問

(1)f(x)は６次以下の整式で、条件
　f(1)=f(-1)、f(2)=f(-2)、f(3)=f(-3)・・・I
を満たすものとする。このとき
　f(6)=f(-6)　が成り立つことを示せ。
(2)６次の整式g(x)で、条件
　g(1)=g(-1)、g(2)=g(-2)、g(6)≠g(-6)・・・II
を満たすようなものの例を１つあげ、それが条件IIを満たすことを示せ。

という問題に取り組んでいます。
(1)は条件Iが偶関数になっていると思うのですが、
成り立つことを示すにはどのようにすればいいのでしょうか？６次以下の整式を何かにおいてみようと考えましたがよくわかりませんでした。
(2)は例が挙げられません（泣）途中までは偶関数で６は偶関数ではないのでしょうか？

回答いただけると助かります。宜しくお願いします

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

(1)f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+gとおきます。
F(x)=f(x)-f(-x)とおくと、F(x)=x(bx^4+dx^2+e)となり、これの解はx=0,x=±α,
x=±βの5個です。ところが、条件よりx=±1,±2,±3が解となるため、矛盾します。これは括弧の中が方程式ではなく恒等式だからです。つまりb=d=e=0だからです。
ゆえにF(x)=0が恒等的に成り立ちますから、任意のxについてf(x)=f(-x),
よってf(6)=f(-6)です。

(2)たとえばg(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-6)(x-5)なんてのはどうでしょう。明らかに
g(1)=g(-1)=0, g(2)=g(-2)=0,g(6)=0,g(-6)≠0 （最後の式はどのかっこも-6を代入して0にならないから明らか）です。