「整式f(x)がxについての恒等式f(x^2)を満たしている。」という問題文の問題で質問があります。

質問

整式f(x)がxについての恒等式
f(x^2)=x^2*f(x-1)+3x^3-3x^2・・・(1)
を満たすとする。
まず自分がこの問題文について解釈していることが
正しいのかどうか教えてください。

・整式f(x)のxにx^2を代入したのが(1)である。
・(1)は恒等式よりどんなxを代入しても一緒。

そして問題なのですが、
「f(0),f(1)の値を求めよ。」
これはつまり、f(0),f(1)は整式f(x)のxにx=0,1を
代入することをさしているんですよね？

本来代入x=0,1を代入すべきなのは整式f(x)だと思うのですが、
解答では(1)に普通にx=0,1を代入しています。
整式f(x)が具体的に分かっていないから代入のしようがないのは
分かりますが、整式f(x)のxにx^2を代入したのが(1)であるのに
そこにx=0,1を代入して答えを導いているのは何故でしょうか？
うまく納得できません。

それと(1)の右辺にあるf(x-1)ですが、
例えば、 y = f(x) 、f(x) = x^2、f(2) = 4
とったものなら理解できるのですが、
この場合、整式f(x)のxにx^2を代入して出来上がった式の
右辺に対して存在していますよね。その結果両辺にf()の形が
存在している。これがどういうことなのか理解に苦しみます。

長文となってしまいましたが、解説お願い致します。

回答No.1

KI401 · ベストアンサー

問題の解釈は正しいかと思います。

> その結果両辺にf()の形が存在している。これがどういうことなのか理解に苦しみます。

簡単な例を一つ見てみましょう。
f(x)=x^2とします。
このとき、f(a+b)=f(a)+2ab+f(b)ですよね？
両辺にf()の形が存在していますが、何か不自然なことがあるでしょうか？
どのf()も二乗することを表しているだけで、別段不思議なことはないはずです。

さて、fとして別の多項式を考えましょう。
とりあえずf(x)=(x+1)^2としてみます。
このとき、f(x^2)=(x^2+1)^2ですね。
無理やりこの右辺にf(x)の形を作り出して問題と同じような状況にしてみます。
f(x)=x^2+2x+1なので、f(x^2)=(f(x)-2x)^2 …☆です。
☆は等価変形して得られた恒等式です。

☆にx=1を代入することを考えます。
☆左辺は、f(1^2)=f(1)=(1^2+1)^2=4
☆右辺は、(f(1)-2*1)^2=((1+1)^2-2)^2=4
で、当然ですが等しいという結果が出ました。
f(x^2)のxに1を代入したとき、1^2をfに与えたことに注意してください。

f(x^2)という見た目に騙されるかもしれませんが、結局xに何かを代入するということは、
結局(1)式や☆式のxをその数字で置き換えるという操作をするだけです。
x=1のときはf(x^2)=f(x)=f(1)となり、都合が良いので問題として出題されているのでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
例を出して頂いたおかげで、両辺にf()の形が存在していても
別に何の問題もないことが分かりました。

そしてf(1)などは、xを数字で置き換えただけということなのですね。
自分の中ではかなり納得がいったと思います。

回答No.2

info22

>・整式f(x)のxにx^2を代入したのが(1)である。
↑間違い。
「(1)」ではなく「f(x^2)」で置き換えれば正しくなる。

なので
>それと(1)の右辺にあるf(x-1)ですが、
これは単にf(x)のxの代わりに「x-1」で置換するといった意味です。

この解釈の仕方、つまり(1)式の意味が間違って解釈されていることが
不可解な質問の無いようになっているのです。

>・(1)は恒等式よりどんなxを代入しても一緒。
↑「一緒」の意味が不明。
「一緒」を「常に成立」で置き換えると正しくなる。

>解答では(1)に普通にx=0,1を代入しています。
質問者さんが(1)式のf(x^2),f(x-1)を正しく解釈出来ているなら
(1)式中の全ての式のxに、そのままx=0,1,2などを代入しても、
恒等式ですから、(1)式は成立すると言うことです。

>　f(x^2)=x^2*f(x-1)+3x^3-3x^2・・・(1)
x=0の時は
f(0^2)=(0^2)*f(-1) ⇒ f(0)=0…(2)
x=1の時は
f(1^2)=1*f(1-1)+3-3⇒ f(1)=f(0)=0(∵(2))…(3)
x=2の時は
f(2^2)=4*f(2-1)+24-12⇒ f(4)=4f(1)+12=12(∵(3))
となりますね。