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整式で表された関数f(x)が

整式で表された関数f(x)が、f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき、f(x)を求めよ。 という問題で、f(x)がn次式であるとすると、教科書では、 (a)n=0,1のときf(x)=ax+bとおけ、f'(x)=aより与式に代入して、恒等的に解いて、f(x)=-x-1 (b)n>=2のとき左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、2(n-1)=n n=2より f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、恒等的に解いて、f(x)=(3/4)x^2+2x+2 ということらしいのですが、 n>=2のとき、例えば、f(x)=(1/2)x^2+cx+dのとき、f'(x)-xは定数(c)となり、左辺は1次式となって、 左辺は必ずしも2(2-1)=2次式とは言い切れないと思うのですが、どうでしょうか。解答として不十分なのでしょうか。 一度先生に質問してみたところ、n=2はあくまでも必要条件だから、このままでよいと言われましたが、 どういうことでしょうか。 解答お願いします。

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  • 回答No.3

#1です。追加です。 整式で表された関数f(x)が、 f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき f(x)を求めよというのだから この(左辺=右辺) は前提条件となります。 f(x)がn次式であるとすると n≧2の時 (左辺=右辺)という前提条件のもとで 左辺が2(n-1)次式となるのです。 f(x)=(1/2)x^2+cx+dのとき、 f'(x)-xは定数(c)となり、 左辺は1次式 c(x+c) となって、 右辺は2次式 (1/2)x^2+cx+d+2(x+1) となり 左辺≠右辺 となり (左辺=右辺)という前提条件に矛盾するので n≧2の時 f(x)=(1/2)x^2+cx+d となる事も 左辺が1次式となる事もありません 右辺が2次式であれば 左辺も必ず2次式でなければなりません。

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  • 回答No.2

#1です。訂正です。 整式で表された関数f(x)が、 f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき f(x)がn次式であるとすると n=2のとき 左辺が1次式の時、右辺は2次式で 等号が成り立たず、 f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たしません (a) n=0,1のとき f(x)=ax+bとおけ, f'(x)=aより与式に代入して, 恒等的に解いて、 f(x)=-x-1 (b) n≧2のとき n>2を仮定すると 左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、 2(n-1)=n n=2となってn>2に矛盾 n=2より p≠0 f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、 恒等的に解いて、 f(x)=(3/4)x^2+2x+2

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  • 回答No.1

整式で表された関数f(x)が、 f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき というのだから 左辺が1次式の時、右辺は2次式で 等号が成り立たず、 f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たしません (a) n=0,1のとき f(x)=ax+bとおけ, f'(x)=aより与式に代入して, a^2-b-2=2(a+1)x=0 a^2=b+2 a=-1 b=-1 f(x)=-x-1 (b) n=2のときn=2 n>2のとき 左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、 2(n-1)=n n=2より f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、 恒等的に解いて、f(x)=(3/4)x^2+2x+2

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