恒等式の問題（高校 数?）を教えてください。

質問

恒等式の問題（高校　数?）を教えてください。

問題
f(x)をｘについての整式とする。
　{(x^2)-3)}f(1-x)-xf(x-1)=x^4+x^2-8x+3
がxについての恒等式であるとき、
　?f(0)、f(1)の値をそれぞれ求めよ。
　?f(x)の次数を求めよ。
　?f(x)を求めよ。

?については
　与えられた式にx=0,1をそれぞれ代入すると
　x=0を代入　(0-3)f(1-0)=3
　　　　　　　⇔　-3f(1)=3　∴f(1)=-1
　x=1を代入　(1-3)f(1-1)-f(1-1)=1+1-8+3
　　　　　　　⇔　-2f(0)-f(0)=-3
　　　　　　　⇔　f(0)(-2-1)=-3　∴f(0)=1

となったのですが、これでいいでしょうか？
?、?についてはわかりません。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x)の次数:右辺が４次なので、左辺も４次であるための条件がf(x)が2次。

最高次の係数は、右辺の最高次の係数が１であることから
f(x)の２次の項の係数も１であることからf(x)の２次の項の係数は1。
従ってf(x)は次のようにおける。
f(x)=x^2+ax+b　…（●）
これにすでに求めてあるf(0)=1,f(1)=-1の条件を入れれば、a,bの連立方程式が出来るので、解けば a,bが決まる。
（●）の式にa,bを代入すればf(x)が求まる。

あとは出来ますね？

お礼

ありがとうございます。

　f(x)=x^2+ax+b
に、f(0)=1,f(1)=-1を代入すると
　f(0)=b=1
　f(1)=1+a+b=-1
　∴a=-b-2=-3
よって、
　f(x)=x^2-3x+1

となりました。

回答No.2

mister_moonlight

f(x)の次数は次のようにすると良い。

f(x)の最高次数をn（nは自然数）とすると、右辺の最高次数は4.
左辺の最高次数は、(x^2)*f(1-x) が与えるから、n＋2.
従って、n＋2＝4　→　n＝2。

お礼

ありがとうございます。
大変参考になりました。