鉛直投げ上げのｖ-ｔグラフ2

質問

移動距離は一体どこの面積なのでしょうか？ｓ＝ｖ0ｔ-1/2ｇｔ＾2とはどこの面積なんですか？

回答No.1

noname#137826 · ベストアンサー

移動距離と高さ(位置)を混同していませんか？

移動距離は最高到達点まで増大し、そこから落ちてくるときにも増大し続けます。高さ(位置)は、最高到達点までは増大しますが、そこから落ちてくるときには減少します。

s = v0t - gt^2/2 で表される s は高さ(位置)であり、移動距離ではありません。
グラフの色がついた部分の面積の和は移動距離です。高さ(位置)ではありません。

では、グラフから移動距離ではなく高さ(位置)を求めることはできないのかというと、それもできます。ただし、この場合には、x軸より下にある部分の面積についてはマイナスをかけてから面積の和をとる必要があります。

マイナスの面積、あるいはx軸より下にある部分の面積はなぜか引き算になる、というのは不思議に思うかもしれません。これは、速度を積分したものが高さ(位置)になるという数学的な関係に由来しています。何のことかわからなければ、今のところはそういうものだ(x軸より下にある部分の面積についてはマイナスをかける)、と考えてもらうしかありません。

実際に計算してみましょう。

移動距離は単純に面積の和を考えればよいので、S1 + S2 = v0×4/2 + v0×4/2 = v0×4 ですね。これは最高到達点まで行って戻ってきた往復距離になっています。

一方、高さ(位置)を求める場合には、x軸の下にある部分についてはマイナスをかける必要があります。つまり、高さ(位置)は、S1 - S2 = v0×4/2 - v0×4/2 = 0 です。式で考えるならば、グラフから v0 = 4g であることを踏まえて、s = v0×8 - g×8^2/2 = v0×8 - g×32 = 0 となります。やはり高さは 0 です。x軸の下にある部分についてはマイナスをかけてから和をとった面積と、式が同じ値を与えることがわかりますね。