この主値積分の解き方を教えて下さい

質問

(P)∫_[-∞,∞]{ (x sin(kx))/(x^2-a^2) }dx = πcos(ka) (ただし、k>0)

実は前回、
http://okwave.jp/qa/q6464545.html
で似たような質問をして丁寧な回答をいただき、自分では完全に理解したと思っていました。しかし、この問題のように、少し変わっただけでもう解けません。お恥ずかしいです。
今回も極は実軸上の±aだけだと思います。
f(z) = e^(ikz)/(z^2-a^2)とおくのだと思います。
でも、その後が分かりません。どうか解き方を教えていただけないでしょうか？

回答No.3

Ae610 · ベストアンサー

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f(z) = ze^(ikz)/(z^2-a^2)なので
{1/(z-a)}{e^(ikz)/(z+a)}
F(z) = e^(ikz)/(z+a)と置きますと
F(a) = e^(ika)/2
一方、
{1/(z+a)}{e^(ikz)/(z-a)}
F(z) = e^(ikz)/(z-a)と置きますと
F(-a) = e^(-ika)/2
-----------------------
・・・？(F(z)って何？)

留数（・・・の計算）について今ひとつ理解がされていないように思う。
λ1 = Res(f(z);a) = lim[z→a]{(z-a)f(z)} = lim[z→a]{ze^(ikz)/(z+a)}
λ2 = Res(f(z);-a) = lim[z→-a]{(z+a)f(z)} = lim[z→-a]{ze^(ikz)/(z-a)}

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πi{e^(ika)/2 + e^(-ika)/2}
=πi/2 {e^(ika) + e^(-ika)}
=πi/2 {cos(ka)+i sin(ka) + cos(-ka)+i sin(-ka)}
=πi/2 {cos(ka)+i sin(ka) + cos(ka)-i sin(ka)}
=πi/2 {2 cos(ka)}
=πi cos(ka)
ここから虚数を摂るので
=πcos(ka)
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・・・計算結果はOK！

元々示したかったのは
(P){∫[-∞,∞]{xcos(kx)/(x^2－a^2)}dx + i∫[-∞,∞]{xsin(kx)/(x^2－a^2)}dx} = πi{λ1 + λ2}
だったのだから、両辺を比較すると実部が消えて虚数部が残ることになるので
i∫[-∞,∞]{xsin(kx)/(x^2－a^2)}dx} = πi cos(ka)
よって
(P)∫[-∞,∞]{xsin(kx)/(x^2－a^2)}dx} = πcos(ka)

お礼

F(z)は、私の読んでいる本では公式があって、{1/(z-a)}{e^(ikz)/(z+a)}
の後半の項を大文字のF(z)にしてそこに極を入れるという感じです。最初に
λ1 = Res(f(z);a) = lim[z→a]{(z-a)f(z)} = lim[z→a]{ze^(ikz)/(z+a)}
λ2 = Res(f(z);-a) = lim[z→-a]{(z+a)f(z)} = lim[z→-a]{ze^(ikz)/(z-a)}
みたいなので証明してから使ったんですけど、あまり理解できてないのは本当です。(^^ゞ　この本、最初は説明が丁寧でよかったんですけど、後の方になってくると、説明がちょっと雑になってきました。

> (P){∫[-∞,∞]{xcos(kx)/(x^2－a^2)}dx + i∫[-∞,∞]{xsin(kx)/(x^2－a^2)}dx} = πi{λ1 + λ2}
だったのだから、両辺を比較すると実部が消えて虚数部が残ることになるので
i∫[-∞,∞]{xsin(kx)/(x^2－a^2)}dx} = πi cos(ka)

なるほど、一行目をexp()にまとめて計算した後で虚数を取るのですね。この辺の計算はまだ頭にグラフが浮かびません。他の本も借りてきたので時間があるときに読んで更に勉強しますね。
ありがとうございました！

回答No.2

Ae610

ANo.1です。

∫[-∞,∞]{x exp(ikx) / (z^2－a^2)}dx = 2πi{Σ[Imζ>0]Res(f;ζ) + λ1 + λ2}－λ1・πi－λ2・πi ・・・(1)←今回はImをReに変えるのですか？
・・・何のことを言っているのか分からないのだが、(1)の表現式は何処も変えない！！

(λ1=Res(f;a) = -z e^(ika)/2a , λ2=Res(f;-a) = z e^(-ika)/2a と置いている)
・・・留数計算結果に何故zが残ったままになっているのか？

(P)∫[-∞,∞]{x exp(ikx) / (x^2－a^2)}dx
= (P){∫[-∞,∞]{cos(kx)/(x^2－a^2)}dx + i∫[-∞,∞]{sin(kx)/(x^2－a^2)}dx}
= πi{λ1 + λ2}
・・・これはOK・・！

アドバイス → 留数計算（λ1,λ2）を再確認！！

お礼

ありがとうございます。忙しくて昨日やっと一時間ほど時間を見つけたので解こうと思ったのですが、こんがらがって丸投げしてしまいました。すみませんでした。
ということで、真面目にやりました：
f(z) = ze^(ikz)/(z^2-a^2)なので
{1/(z-a)}{e^(ikz)/(z+a)}
F(z) = e^(ikz)/(z+a)と置きますと
F(a) = e^(ika)/2
一方、
{1/(z+a)}{e^(ikz)/(z-a)}
F(z) = e^(ikz)/(z-a)と置きますと
F(-a) = e^(-ika)/2

πi{e^(ika)/2 + e^(-ika)/2}
=πi/2 {e^(ika) + e^(-ika)}
=πi/2 {cos(ka)+i sin(ka) + cos(-ka)+i sin(-ka)}
=πi/2 {cos(ka)+i sin(ka) + cos(ka)-i sin(ka)}
=πi/2 {2 cos(ka)}
=πi cos(ka)
ここから虚数を摂るので
=πcos(ka)
でよろしいでしょうか？

近日中にお返事が無ければこれで合っているとみなして、ベストアンサーを差し上げます（こんなに親切に答えてくださってるので、何がどうあろうとベストアンサーを差し上げますけど(^^ゞ）。

回答No.1

Ae610

前回回答した者です。
-----f(z) = e^(ikz)/(z^2-a^2)とおくのだと思います。----
そのように置いたらxsin(kx)/(x^2－a^2)が出てこないョ・・・！
f(z) = ze^(ikz)/(z^2-a^2)とする。

上記f(z)の留数を計算して留数定理に当てはめれば、虚数部分を取ることによって
(P)∫[-∞,∞]{xsin(kx)/(x^2－a^2)}dx = πcos(ka)
が計算出来る・・・！
(一応当方で計算確認した！)

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（ここでお詫び・・・！)
前回の計算で誤解を与えるような式の書き方をしてしまっている。
2πi{Σ[Imζ>0]Res(f;ζ) + λ1 + λ2}
・・・で計算出来るよな誤解を与えているが、（当方でもう一度確認したところ計算途中が間違っており結果的に計算間違いして答が合ってしまっている）
下半平面に突出させた小円部分Cεに沿う積分路での積分を引いておく必要があった。
2πi{Σ[Imζ>0]Res(f;ζ) + λ1 + λ2}－λ1・πi－λ2・πi
としなければならない。
（申し訳ない！）
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お礼

ありがとうございます。忙しくて返事できなくて申し訳ございません。
f(z) = e^(ikz)/(z^2-a^2)は単純なミスでした。
正しくはf(z) = ze^(ikz)/(z^2-a^2)ですね。
前回の回答を例に書いてみますけど、時間が無くてちょっとまだこんがらがっています・・・

(P)∫[-∞,∞] { x(sin(kx)) / (x^2-a^2) } dx = π cos(ka) (k>0)
（(P)は主値積分を表すものとする）

∫[-∞,∞]{x exp(ikx) / (x^2－a^2)}dxを考えるとx=±aで特異点(極)を持つ。
積分路Cを上半平面に取り、且つ実軸上に存在する特異点を含むようにaの近傍[a-ε,a+ε]を下半平面に突出するようにaを中心とする半径εの半円Cεを取る。
f(z) = z exp(ikz) / (z^2－a^2) とする。
∫[-∞,∞]{x exp(ikx) / (z^2－a^2)}dx = 2πi{Σ[Imζ>0]Res(f;ζ) + λ1 + λ2}－λ1・πi－λ2・πi ←今回はImをReに変えるのですか？
= 2πi{λ1 + λ2}－λ1・πi－λ2・πi
= 2πi・λ1－λ1・πi + 2πi・λ2－λ2・πi
= λ1・πi + λ2・πi
= πi{λ1 + λ2}
(λ1=Res(f;a) = -z e^(ika)/2a , λ2=Res(f;-a) = z e^(-ika)/2a と置いている)
よって
(P)∫[-∞,∞]{x exp(ikx) / (x^2－a^2)}dx
= (P){∫[-∞,∞]{cos(kx)/(x^2－a^2)}dx + i∫[-∞,∞]{sin(kx)/(x^2－a^2)}dx}
= πi{λ1 + λ2}

・・・ここまでの流れは合っていますか？すみません・・・