複素積分の答えに辿り着けません

質問

複素積分
∫{ (x sin*kx)/(x^2 + a^2) , x, -∞, ∞} = πe^(-ka)　　　(k>0) の答えに辿り着けません。
「なっとくする複素関数」という本に載っていた問題です。

自分でやったところまで書きますと
∫_c{(z sin*kz)/(z^2 + a^2) , z}
= ∫{ (x sin*kx)/(x^2 + a^2) , x, -R, R} + ∫{ (z sin*kx)/(z^2 + a^2) , z, 半円}
で、∫{ (z sin*kx)/(z^2 + a^2) , z, 半円}はゼロになります（証明略）。
∫{ (x sin*kx)/(x^2 + a^2) , x, -R, R}は今回求めるものなので、
∫_c{(z sin*kz)/(z^2 + a^2) , z}を求めればよいことになります。

そして、
∫_c{(z sin*kz)/(z^2 + a^2) , z}
= ∫_c{ 1/(z - ia) * (z sin*kz)/(z + ia) , z}
にして、1位の極はia、F(z) = (z sin*kz)/(z + ia)になります。
F(ia) = [ia * sin{ k(ia) }]/(ia + ia)
= {ia * sin(ika)}/2ia
= sin(ika)/2
I = 2πi * sin(ika)/2
= πi sin(ika)
…ここまでが限界です。これ以上近付けません。

sin kz = {e^(ikz) + e^(-ikz)}/2
と代入しても、結果は
{e^(-ka) - e^(ka)}/2 で
I = 2πi * {e^(-ka) - e^(ka)}/2
= πi{e^(-ka) - e^(ka)}
です。どうか答えまで辿り着かせてください。お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1、#2です。

A#2の補足の質問の回答

>今回はk>0ということで、上半面だけの計算になると思っています。
それで合っています。
z=ai (a>0として)における留数だけを考えればいいです。

>I = (π/2)*{e^(-ka) - e^(ka)} …（★）まで計算できても、そこからが分かりません。
答えは、(★)でも、下の（■）でも、どちらも答えとして正解です。

>オイラーで
>{e^(-ka) - e^(ka)} = [{cos(-ka)+i sin(-ka)} - {cos(ka)+i sin(ka)}]
これ間違い。
以下は双曲線関数の定義式
　sinhA≡{e^A -s^(-A)}/2　…(●1)
　coshA≡{e^A+e^(-A)}/2 …(●2)
したがって
I = -π{e^(ka)-r^(-ka)}/2
= -πsinh(ka) … (■) ←これが答え

以下間違い。
>とやっても、
>= [cos(ka)-i sin(ka) - cos(ka)-i sin(ka)]
>= [cos(ka)-i sin(ka) - cos(ka)-i sin(ka)]
>=2{cos(ka)-i sin(ka)}
>I = π/2 * 2{cos(ka)-i sin(ka)}
>= π{cos(ka)-i sin(ka)}
>= π{cos(-ka)+i sin(-ka)}
>= πe^(-ka)

>[cos(ka)-i sin(ka) - cos(ka)-i sin(ka)]
>= -2i sin(ka)
>ですね・・・偶然にも答えと一致するなんて、まぁ。
ではないですよ。

>I = π/2 * -2i sin(ka)
>= -πi sin(ka)
>= -πsinh(ika)
>これはNo.1さんの仰っている答えでしょうか？
答えではないです。
>これからどうやってπe^(-ka)へ辿り着けばよいのでしょうか？
これも答えではないです。

上の(■)か（★）が答えです。

お礼

ありがとうございます。
私もその答えで合っていると思っています。しかし、本の答えと違うんですよね…。そこで出版社(講○社)の方に電話で問い合わせてみました。するとメールである数学公式集の1ページ(そのページの上方には「定積分　B6　233ページ」とりあります)を送ってくださいまして、そこには
∫(sin px * x/(q^2+x^2),x,0,∞) = 1/2 * πe^(-pq)
と書いてありました。
範囲が(0,∞)ですので1/2になる以外はこの問題と同じようです。
ただし、解き方は書かれてないですからね…。
私もWolframで解いてみましたが、結果は留数が1/2 * i sinh(ka)、
つまり、2πiを掛ければ、-π sinh(ka)です。
そして、-π sinh(ka) = π/2 * (e^(-ka)-e^(ka))の判定もTrueです。
では、e^(-ka)とπ/2 * (e^(-ka)-e^(ka))の差を計算してみたところ、どうもcosh(ka)になるようです。つまり、それらは別物です。

私には出来るのはここまでが精一杯です。何か決定的に(■)か（★）が正しくて、本が間違っていると証明できる方法はないでしょうか？

回答No.2

yurih

まず、sin(z)はz=∞で真性特異点になっています。
なので、sin kz = {e^(ikz) - e^(-ikz)}/2i を代入して計算しないといけません。

sin kz = {e^(ikz) + e^(-ikz)}/2 でなく　sin kz = {e^(ikz) - e^(-ikz)}/2i
を代入すれば答えが出ると思います。

上半面 、下半面どちらで積分するかにも注意してください。
例えば e^(ikz) は 下半面で z=∞ とすると発散してしまいますよね。

お礼

ありがとうございます。
そうですね、sin kz = {e^(ikz) - e^(-ikz)}/2i ですね。
今回はk>0ということで、上半面だけの計算になると思っています。
I = π/2 * {e^(-ka) - e^(ka)} まで計算できても、そこからが分かりません。
オイラーで
{e^(-ka) - e^(ka)} = [{cos(-ka)+i sin(-ka)} - {cos(ka)+i sin(ka)}]
とやっても、
= [cos(ka)-i sin(ka) - cos(ka)-i sin(ka)]
= [cos(ka)-i sin(ka) - cos(ka)-i sin(ka)]
=2{cos(ka)-i sin(ka)}
I = π/2 * 2{cos(ka)-i sin(ka)}
= π{cos(ka)-i sin(ka)}
= π{cos(-ka)+i sin(-ka)}
= πe^(-ka)
あ、出来てしまいました！（感涙）

こうやって計算するんですね！
お二方とも、ありがとうございました！

補足

うわー、↓のお礼の計算は間違ってました。
[cos(ka)-i sin(ka) - cos(ka)-i sin(ka)]
= -2i sin(ka)
ですね・・・偶然にも答えと一致するなんて、まぁ。
I = π/2 * -2i sin(ka)
= -πi sin(ka)
= -πsinh(ika)
これはNo.1さんの仰っている答えでしょうか？
これからどうやってπe^(-ka)へ辿り着けばよいのでしょうか？

回答No.1

info22_

>I = 2πi * sin(ika)/2
>= πi sin(ika)
>…ここまでが限界です。これ以上近付けません。

>sin kz = {e^(ikz) + e^(-ikz)}/2

公式：sinA={e^(iA)-e^(-iA)}/(2i)
で「A=ika」を代入してやります。
すると
I=π{e^(-ka)-e^(ka)}/2
となります。

>と代入しても、結果は
>{e^(-ka) - e^(ka)}/2 で
正：sin(ika)={e^(-ka) - e^(ka)}/(2i)

>I = 2πi * {e^(-ka) - e^(ka)}/2
正：I = 2πi * {e^(-ka) - e^(ka)}/(2i*2)

>= πi{e^(-ka) - e^(ka)}
正： = π{e^(-ka) - e^(ka)}/2
これは「=-πsinh(kz)」とも書きます
(sinh(x)は双曲線関数といいます)。

お礼

ありがとうございます。
そうですね、sinA={e^(iA)-e^(-iA)}/(2i)ですね。
実は真ん中の足し算は打ち間違えただけで計算は引き算してました。
でも、2iのiは忘れてました。
それで、I=π{e^(-ka)-e^(ka)}/2を得たわけですが、
ここからどうやって、πe^(-ka)に辿り着くのですか？
k>0が関係してくるのでしょうか？

補足

本当の意味での補足ですけど、この問題の3問前に
∫({xe^(ikx)}/(x^2+a^2),x,-∞,∞)
= { πie^(-ka) (k>0)
{ -πie^(ka) (k<0)
という問題があって、今回質問した問題では「この問題の答えの虚数を取る」というのが解答になっているんです。しかし、実はなんで虚数を取るのかも分からないですし、3問前の問題なしでも解けるようになりたいので、最初から計算しているわけです。エラく躓いていますけど。(^^ゞ