複素関数：負符号のせいで計算が合いません

質問

P∫_[-∞,∞] { (cos(kx)) / (a^2-x^2) } dx = π/a sin(|k|a)

最後の最後で負符号が付いて計算が合いません。
部分分数分解をして
= 1/(2a) P∫_[-∞,∞] {1/(a-x) + 1/(a+x)}e^(kx) dx
二つの項に分けて、前の項には負を掛けてxとaを逆にします
= -1/(2a) P∫_[-∞,∞] {1/(x-a)}e^(kx) dx + 1/(2a) P∫_[-∞,∞] {1/(x+a)}e^(kx) dx

前の項
∫_c {1/(z-a)}e^(kz) dx
f(a) = e^(ka)
I_1 = -1/(2a)*πi*e^(ka)
= -(πi)/(2a)*{cos(ka)+i sin(ka)}
= -(πi)/(2a)*cos(ka)-(πi^2)/(2a) sin(ka)
= -(πi)/(2a)*cos(ka)+π/(2a) sin(ka)

後の項
∫_c {1/(z+a)}e^(kz) dx
f(a) = e^(-ka)
I_2 = 1/(2a)*-πi*e^(-ka)
= (-πi)/(2a)*{cos(-ka)+i sin(-ka)}
= (-πi)/(2a)*cos(-ka)-(πi^2)/(2a) sin(-ka)
= (-πi)/(2a)*cos(-ka)+π/(2a) sin(-ka)
cos xは偶数関数、sin xは奇数関数
= (-πi)/(2a)*cos(ka)-π/(2a) sin(ka)

I_1 + I_2
= -(πi)/(2a)*cos(ka)+π/(2a) sin(ka) + (-πi)/(2a)*cos(ka)-π/(2a) sin(ka)
= (-2πi)/(2a)*cos(ka)
= (-πi)/(a)*cos(ka)

本来ならば、I_2のsinの項は正になって、
その実部をとって正解となるはずなのですが、消えてしまいました…。
どこで要らない負符号を付けてしまったのかご指摘ください。
絶対値が付く理由は…この際、別にいいです（苦手）。では、お願いします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

当方が計算してみた限りでは、答え通りになった・・・！
(P)∫[-∞,∞] { (cos(kx)) / (a^2-x^2) } dx = π/a sin(|k|a)
（(P)は主値積分を表すものとする）

∫[-∞,∞]{exp(ikx) / (a^2－x^2)}dxを考えるとx=±aで特異点(極)を持つ。
積分路Cを上半平面に取り、且つ実軸上に存在する特異点を含むようにaの近傍[a-ε,a+ε]を下半平面に突出するようにaを中心とする半径εの半円Cεを取る。
f(z) = exp(ikz) / (a^2－z^2) とする。
∫[-∞,∞]{exp(ikx) / (a^2－x^2)}dx = 2πi{Σ[Imζ>0]Res(f;ζ) + λ1 + λ2} = 2πi{λ1 + λ2}
(λ1=Res(f;a) = -e^(ika)/2a , λ2=Res(f;-a) = e^(-ika)/2a と置いている)
よって
(P)∫[-∞,∞]{exp(ikx) / (a^2－x^2)}dx
= (P){∫[-∞,∞]{cos(kx)/(a^2－x^2)}dx + i∫[-∞,∞]{sin(kx)/(a^2－x^2)}dx}
= 2πi{λ1 + λ2}
= (πi/2a)・{-e^(ika)/2a + e^(-ika)/2a}
= πi/2a・{-(cos(ka) + isin(ka)) + cos(ka)－isin(ka)}
= πi/2a・{-2isin(ka)}
= π/a・sin(ka)

お礼

納得です。実はΣ[Imζ>0]Res(f;ζ)で頭を悩ませたんですが、なるほど、二つの特異点は実軸上にあったんでしたね。計算で出ていても頭では理解していませんでした。
あと、小半円は下半平面にとれるんですね。真剣に勉強します。
ありがとうございました！

補足

必ずお礼は差し上げますので、しばらくお待ち下さい。m(__)m