積分問題におけるsin^2とcos^2の交点と面積の計算方法
- 積分問題において、y=sin^2 kx と y=cos^2 kx の交点を求める方法について説明します。
- さらに、∫cos^2kx - sin^2 kx dx の計算方法についても解説します。
- 最後に、交点が求まったら通常の計算方法を用いて面積を求めることができます。
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積分
問題 The curves on the graphs below are y=sin^2 kx and y=cos^2 kx Find the shaded area. まずy=sin^2 kx と y=cos^2 kx の交点を見つけたいのですが sin^2 kx = cos^2 kx , sin^2 kx / cos^2 kx = cos^2 kx / cos^2 kx , tan^2 kx = 1 (tan kx + 1) ( tankx - 1) =0 tankx = -1 , tankx = +1 などとやってみたのですがk がある為この先どうやったらいいのかわかりません。（ここまでの計算も自信ありません。。） それから∫cos^2kx - sin^2 kx dx もどの様に処理すればいいのかよくわかりません。 ∫cos2kx dx にしてみましたがこの後 1/2k sin 2kx となりましたがこれであっているでしょうか？ これが合っていれば後はy=sin^2 kx と y=cos^2 kx の交点がわかれば普通に計算すればいいのですよね？ 考え方を教えて頂けますか？
- machikono
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まず交点のx座標を求めます。 sin^2 kx + cos^2 kx = 1 ←公式：sin^2θ+cos^2θ = 1 ∴sin^2 kx + sin^2 kx = 1/2 ←交点だから、sin^2 kx = cos^2 kx ∴sin kx = ±1/√2 ―図からy軸左右の最初の交点なのを考慮して→sin kx = 1/√2 ∴kx = ±π/4（=±45°） （-π＜kx＜π、なお、kは正とします） ∴x = ±π/(4k)（=±45°） （-π/k＜x＜π/k、なお、kは正とします） 影部分は図より明らかなように「y = cos^2kx-sin^2kx」ですので、その不定積分をまず求めてみます。 ∫(cos^2 kx - sin^2 kx)dx =∫{-(1 - cos^2 kx - 1) - sin^2 kx }dx =∫{-(sin^2 kx - 1) - sin^2 kx}dx ←公式：sin^2θ + cos^2θ = 1 → cos^2θ = 1 - sin^2θ =∫(-sin^2 kx - sin^2 kx + 1)dx =∫(-2sin^2 kx + 1)dx =∫{-2(1 - cos 2kx)/2 + 1}dx ←公式：sin^2θ=(1 - 2cosθ)/2 =∫(-1 + cos 2kx + 1)dx =∫(cos 2kx)dx =(sin 2kx)/(2k) + C （Cは積分定数） ←(sin ax)' = a・cos ax これを-π/kから+π/k（←k＞0を仮定しています）まで定積分すればいいはずです。計算ミスってたらすみません（よく間違うのです）。
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#1,2です。 > ＞∴sin^2 kx + sin^2 kx = 1/2 ←交点だから、sin^2 kx = cos^2 kx > 何故1/2になるのかわかりません。 すみません、そこも誤記しました。 正>∴sin^2 kx + sin^2 kx = 1 → sin^2 kx = 1/2 ←交点だから、sin^2 kx = cos^2 kx です。次の、 > ∴sin kx = ±1/√2 ―図からy軸左右の最初の交点なのを考慮して→sin kx = 1/√2 以降は、sin^2 kx = 1/2を使っていますので、そのままで大丈夫です。 以上、お詫びして訂正いたします。あちこち間違えまして、大変申し訳ありません。
お礼
早速疑問に答えて頂き有り難うございます。 よくわかりました、助かりました！
#1です。誤記しました、すみません。 誤> これを-π/kから+π/k（←k＞0を仮定しています）まで定積分すればいいはずです。 交点のx座標を書き写し間違えました（こういうミスも多いので、よく間違う）。 正> これを-π/(4k)から+π/(4k)（←k＞0を仮定しています）まで定積分すればいいはずです。
お礼
わざわざ訂正して頂き有り難うございました。
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お礼
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