代数の問題です

質問

代数学の問題ですがてやり方と答えを教えてくれませんか？？
お願いします 代数学の問題で2問あるのですが、答えと答えの導き方（途中式）を教えてください。
(1) 郡の準同型写像ｆ;Z→Z/12Z*Z/15Zの核の生成元を答えよ
(2)x＾4+x＾2+1を（１）Ｚ係数（２）Ｃ係数（３）Ｚ/（2）係数で因数分解しなさい

わかるどちらかでもかまいません、答えと答えの導き方（途中式）を教えてください

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)
f:Z→(Z/12Z)*(Z/15Z)
p:(Z/12Z)*(Z/15Z)→(Z/12Z),射影
q:(Z/12Z)*(Z/15Z)→(Z/15Z),射影
f(1)=(p{f(1)},q{f(1)})=(a,b)
a=p{f(1)}と12の最大公約数をt=g[p{f(1)},12]
b=q{f(1)}と15の最大公約数をu=g[q{f(1)},15]
c=12/g[p{f(1)},12]とd=15/g[q{f(1)},15]の最小公倍数を
L=LCM(12/g[p{f(1)},12],15/g[q{f(1)},15])
とすると,
a=tr
L=vc
b=us
L=wd
となる{r,s,v,w}⊂Zがある
f(L)=Lf(1)=(aL,bL)=(vctr,wdus)=(12vr,15ws)=0
L∈ker(f)

x∈ker(f)とすると
(tcy,udz)=(12y,15z)=0=f(x)=xf(1)=(ax,bx)=(trx,usx)
rx=cy
rとcは互いに素だからx=jcとなるj∈Zがある
sx=dz
sとdは互いに素だからx=kdとなるk∈Zがある
xはcとdの公倍数だから
x=nLとなるn∈Zがある
∴
L=LCM(12/g[p{f(1)},12],15/g[q{f(1)},15])はker(f)の生成元

(2)
(1)
x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
(2)
x^4+x^2+1
=(x-{(1+i√3)/2})(x-{(-1+i√3)/2})(x-{(-1-i√3)/2})(x-{(1-i√3)/2})
(3)
Z/(2Z)の係数で因数分解すると
x^4+x^2+1=(x^2+x+1)^2