数学 値

質問

xについての方程式　ｘの2乗-ｐｘ+２ｐ=0　の二つの解をa,Bとするとき
aの2乗+Bの2乗の値を最小とするｐの値を求めよ。

やり方が全くわからないので教えてください。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

x^2-px+2p=0の解をa,bとすると
a+b=p,ab=2pなので
a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab--->p,qを代入
=p^2-4p
=(p-2)^2-4
と式変形できるので
p=2の時最小になる

補足

pの2乗-4pはどのようにしたら（p-2)の2乗-4になるのですか？

回答No.4

mister_moonlight

2解α、βが実数で、ｐも実数とする。
従って、判別式≧0　(重解でも良い)から、ｐ≧8、or、ｐ≦0　‥‥(1)
α＾2＋β＾2＝(α＋β)＾2-2αβ＝p＾2-4p＝(ｐ-2)＾2-4　‥‥(2)
つまり、(1)の範囲で　(2)の最小値を考えると、ｐの2次関数だから、グラフを書いて、ｐ＝0の時、最小値が0となる。

これが普通の解だろう。
＃2の回答は間違い。
断りがない限り、重解であってもかまわない。そんな事は、高校数学の初歩。

回答No.3

mister_moonlight

これは高校1年生の問題だろう。
ｐ＝2なら、2つの解は虚数解になる。
従って、2つの解を実数解と考えるのが高校1年なら、普通じゃないだろうか。問題には書いてないが。
つまり、判別式は不要なんだろうか？

回答No.2

tmpname

良く考えて見ますと問題に色々と不明瞭な点があるので
実は結構困った問題ですね....

単純に考えるとp=2の時で良さそうですが、この時
元の方程式はx^2-2x+4 = 0 <=> x = 1±√(-3)で、解が
虚数になります。a^2 + b^2の値は実数になりますが、
a, bそのものが虚数になっているのにa^2 + b^2の
大小を考えるのかは（高校の範囲では）疑問です。

さらに解が虚数の時も許すというのであれば、
ではpも虚数であっていいのかといった話になり、
そうなると求める値はいくらでも小さく出来ます。

そこでx^2 -px +2p=0がxについて「2つの」「実解」を持つ、
かつ「pは実数」とすると、
p^2 -8p > 0 <=> p<0 or p > 8となります。
このときa^2 + b^2 = p^2 - 4pは、p->-0の時p^2 - 4p -> +0
となります。しかし解が「2つ」あるとするとp=0には
なれないので、p^2 -4pの値は0より大きい任意の値に
なれますが0をとる事は出来ません。よって「最小値」は
取れません。

p>8の時はp^2 -4p > 32なので除外します。

よって「解無し」が妥当でしょう。