基底と次元

質問

f1=5+7x-5(x^2)+2(x^3) , f2=-1+9x-3(x^2)+2(x^3) , f3=1+4x-2(x^2)+x^3 , f4=-5+6x+x^3 に対してW=<f1,f2,f3,f4>とする。Wの基底と次元は何ですか？解答よろしくお願いします。

回答No.4

noname#154783 · ベストアンサー

すみません，今日出勤だったもんで，返事が遅くなりました．

>最後の行列の右2列は明らかに線形独立だと書かれていましたが、なぜそう言い切れるのですか？詳しく教えてください。

零ベクトルでない2つのベクトル v1，v2 に対して
「v1，v2 が線形従属である」⇔「ある k に対して v2 = k v1 が成り立つ」．

証明：
v1，v2 が線形従属であるならば，(a, b) ≠ (0, 0) であるようなある a, b に対して
a v1 + b v2 = 0
が成り立つ．したがって
b v2 = -a v1.
v1 も v2 も零ベクトルではないので，もし b = 0 なら a = 0 でなければ
上の式は成立せず，(a, b) ≠ (0, 0) という仮定を満たさない．
したがって b ≠ 0 であるから，
v2 = (-a/b) v1.
すなわち，v1，v2 が線形従属なら，k = -a/b に対して v2 = k v1 が成り立つ．

逆に，ある k に対して v2 = k v1 であれば，
k v1 - v2 = 0
であるから，(a, b) = (k, -1) に対して a v1 + b v2 = 0 であり，
v1，v2 は線形従属である．(証明終わり)

で，線形従属でないことを線形独立といいますので，
零ベクトルでない2つのベクトル v1，v2 に対して
「v1，v2 が線形独立」⇔「v2 = k v1 となる k が存在しない」．

さて，今の場合，最後の行列の右2列のベクトル
v1 = t(-3 1 1 0)，v2 = t(-5 6 0 1)
はともに零ベクトルでなく．v1 を何倍しても v2 にはなりません
（なぜなら，v1 の第4成分は 0 であり，
これを何倍したところで v2 の第4成分である 1 にはならないから．）

以上より v1，v2 は線形独立です．

# 感覚的には「v1 と v2 が平行じゃなきゃ線形独立」って感じです．
# ただ，今考えている線形空間に計量が入っているかどうかが不明なので，
# 「平行」とかいう幾何学的な表現は避けました．

お礼

本当にありがとうございました。

回答No.3

noname#154783

度々すみません．ANo.1です．
ANo.1に貼った画像，途中から，一番右上の成分にマイナスをつけるの忘れてます．
背景も緑色に変色してますし... (手元にあるファイルは背景白いのに)

新しく画像を作り直したので，こちらを参考にしてください．

補足

最後の行列の右2列は明らかに線形独立だと書かれていましたが、なぜそう言い切れるのですか？詳しく教えてください。

回答No.2

noname#154783

ANo.1です．
普通，線形空間の要素の数ベクトル表現は列ベクトルとして表現しますので（多分そのほうが線形写像を行列表現したとき便利だからでしょう），今回はf1～f4を列ベクトルとして表現し，基本列変形してWの基底の列ベクトル表現を求めました．

# ただし，入力は行ベクトルのほうが楽ですけど．

f1～f4を行ベクトルで表現して，基本行変形していっても，行ベクトルで表現しているということを忘れなければ，同じ答になります．

> 　5 7 -5 2
> -1 9 -3 2
> 1 4 -2 0
> -5 6 0 1 ではないのですか？

f3は3次の項をもっているので(係数1)，行ベクトル表現でやるなら

　5 7 -5 2
-1 9 -3 2
1 4 -2 1 ←
-5 6 0 1

でしょうね．

補足

最後の行列の右2列は明らかに線形独立だと書かれていましたが、なぜそう言い切れるのですか？詳しく教えてください。

回答No.1

noname#154783

e1 = 1, e2 = x, e3 = x^2, e4 = x^4 とし，V は e1, e2, e3, e4 が張る線形空間とする：
V = <e1, e2, e3, e4>

そうすると，Wは明らかにVの部分線形空間である．

そこで，f1 ～ f4 をVの基底 <e1, e2, e3, e4> によって表現すると，

f1 ～ t(5 7 -5 2)
f2 ～ t(-1 9 -3 2)
f3 ～ t(1 4 -2 1)
f4 ～ t(-5 6 0 1)

※ tは転地を表す．

これらの数ベクトル表現を組み合わせて，次のような行列を作る：

┌ 5 -1 1 -5 ┐
│ 7 9 4 6 │
│ -5 -3 -2 0 │
└ 2 2 1 1 ┘

これに基本列変形（任意の列を定数倍したり，それを他の列に加えたりする変形）を順次施していく(どうしても行列が崩れてしまうので，図を添付します)：

┌ 5 -1 1 -5 ┐
│ 7 9 4 6 │
│ -5 -3 -2 0 │
└ 2 2 1 1 ┘

　┌ 15 9 6 -5 ┐
～│ -5 -3 -2 6 │ (4列目を使って掃出し)
　│ -5 -3 -2 0 │
　└ 0 0 0 1 ┘

　┌ 15 9 -3 -5 ┐
～│ -5 -3 1 6 │ (3列目を-1/2倍)
　│ -5 -3 1 0 │
　└ 0 0 0 1 ┘

　┌ 0 0 -3 -5 ┐
～│ 0 0 1 6 │ (3列目を-1/2倍)
　│ 0 0 1 0 │
　└ 0 0 0 1 ┘

最後の行列の右2列は明らかに線形独立であるから，

t(-3 1 1 0), t(-5 6 0 1) はWの基底の，{e1, e2, e3, e4}による行列表現と考えられる．すなわち，

g1 = -3 + x + x^2,
g2 = -5 + 6x + x^3

とすると，W の基底は{g1, g2}であり，W の次元は2である．

補足

┌ 5 -1 1 -5 ┐
│ 7 9 4 6 │
│ -5 -3 -2 0 │
└ 2 2 1 1 ┘　　　は、

　5 7 -5 2
-1 9 -3 2
1 4 -2 0
-5 6 0 1 ではないのですか？