- 締切済み
部分空間の基底と次元について
すみません、大学の教科書で少しわからない点があったのでご教授ねがいます。 質問は、Wの基底と次元の話なのですが、 W={(a,a,b)∈R^3|a,b∈R} が与えられています。 (a,a,b)=a(1,1,0)+b(0,0,1) Aベクトル=(1,1,0),Bベクトル=(0,0,1)とおくと、 W=<Aベクトル,Bベクトル> ここで、AベクトルとBベクトルは１次独立であるから、 AベクトルとBベクトルはWの基底となり、dimW=2 となると思うのですが、次のようにするとどうでしょうか・・ W={(a,a,b)∈R^3|a,b∈R} が与えられています。 (a,a,b)=a(1,0,0)+a(0,1,0)+b(0,0,1) Aベクトル=(1,0,0),Bベクトル=(0,1,0),Cベクトル=(0,0,1)とおくと、 W=<Aベクトル,Bベクトル,Cベクトル> ここで、AベクトルとBベクトルとCベクトルは１次独立であるから、 AベクトルとBベクトルとCベクトルはWの基底となり、dimW=3 となってしまう気がします・・・ 同じ部分空間Wが基底の取り方によって次元が変わるのはおかしな話だと思うのですが、どこが間違っているのかわからないのです・・・ おねがいします。
- asuxile
- お礼率0% (0/3)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数0
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 部分空間の基底の求め方
ベクトルa1=t(1,2,1,-1) a2=t(3,4,1,1) a3=t(0,1,1,-2) a4=t(5,3,-2,9) ※t(p,q,r,s)は転置行列 によって生成される部分空間をＷとします。このときＷの次元とそのひと組の基底を求めよ。 という問題なのですが次元については (1 3 0 5) Ａ＝(2 4 1 3) (1 1 1 -2) (-1 1 -2 9) とおいてこれの階数を求めてdimＷ＝２と求められたのですが1組の基底の求め方がわかりません。 基底の求め方を教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形部分空間の次元と基底
K=R or C V=M(n,n;K)：n次正方行列 W={X∈M(n,n,K) | Tr(X)=0} となる線形空間Vとその部分集合Wがあります。 1)Wが線形部分空間になることを示す． 2)Wの基底と次元を求める． 上記の1),2)を示したいのですが、1)は示せたのですが 2)の基底と次元の求め方がわかりません。 列ベクトルの基底等は連立などを用いて解くことができるのですが、 このような空間の基底を求めるのはどのように解放を進めればよいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の基底と時限について
ベクトル空間Ｗが Ｗ＝<a,b,c,d> で与えられている時、 dimＷ＝4 ならば、a,b,c,d が１次独立であることが示せなくても {a,b,c,d}はＷの基底であるといえますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線型代数 部分空間 次元 基底
線型代数の問題です。 全然手がつけられないので助けてほしいです(^^;) 次のV=Mn,n(R)の部分空間の次元と基底を求めよ。 (1)W1=｛A=(ａij)∈V｜i>jのときａij=0｝(上半三角行列の全体) (2)W2=｛A∈V｜tA=A｝ (対称行列の全体) (3)W3=｛A∈V｜tA=-A｝(交代行列の全体) (4)W1∩W2,W1+W2 (5)W2∩W3,W2+W3 答えは (1){Eij|i<j}が基底 dimW1=1/2(n^2+n) (2){Eij+Eji|i≦j}が基底 dimW2=1/2(n^2+n) (3){Eij-Eji|i<j}が基底 dimW3=1/2(n^2-n) (4)(5)は書いてないので分からなかったです... お願いします!!
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形空間は必ず基底を持つ（有限次元）
先日某所で、明らかに有限次元のベクトル空間に関すると思える話に出会い、 「線形空間は必ず基底を持つ！（{0}は除く）」 とやってしまいました。その時、 「持つためには、選択公理が必要」 という指摘を頂いて、「有限次元では（選択公理不要）」と加えたのですが「これって本当にそうなのか？」とふと思い、質問しています。以下、有限次元に限定します。 (1)今までは・・・ 今までは、こう思って来ました。「次元の等しい線形空間は、みな同型」という事から、要は数ベクトル空間について、基底を持つかもたないか、調べれば良いはずだと。 ｎ次の（ｎ次元とは言いませんの）数ベクトル全体をＶをすれば、Ｖには 自然な生成系、 Ｂ＝{(δi1)，(δi2)，・・・，(δin)}（δijは、クロネッカーのデルタ） があり、Ｂが生成系である事はすぐわかり、(δij)らが互いに独立である事もすぐわかり、さらに任意のｖ∈ＶがＢのベクトルに従属なのもすぐわかるから、ｎ次の数ベクトル全体Ｖは、長さがｎの基底を持ちｎ次元で、有限次元線形空間は、選択公理抜きで必ず基底を持つと。 (2)定義に戻ってみると・・・ ところが基底の定義は、 「Ｖから取り出せる、独立なベクトルの集合で、最大本数を持つもの」 となると思います。ここでは有限次元に限定しているので、最大本数と書きました。 この定義に忠実に従って基底の有無を調べるとしたら、Ｖの部分集合全てを調べなければならない気がします。このような操作のためには、やっぱり選択公理が必要でないのか？、と突然気づきました。有限次元であっても、Ｖに含まれるベクトルは、無数にあるので・・・。 (1)と(2)は、本質的に同じでなければならないと思います。そうすると(1)においても、どこかで選択公理のお世話になっているんでしょうか？。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形部分空間の基底と次元
R^3の部分空間W1,W2ga次のように定義 W1=<(1 0 -1),(0 -1 1)> W2=<(3 0 1),(0 3 2)> このときW1nW2の1組の基底と次元を求めよ。 という問題なのですがわかりません。 基底と次元の簡単な理解のしかたはないでしょうか？ 助けてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直交補空間の基底の求め方がわかりません。
ベクトル a1 a2 と Ｒ^5 の部分集合 Ｗ を以下のように与えるとき，次の問いに答えよ。 a1 ≝ [1 2 3 -1 2] a2 ≝ [2 4 7 2 -1] Ｗ ≝ {λa1 + μa2│λ,μ∈R} ( i ) W^⊥ (Ｗ の直交補空間) の基底を求めよ。 直交補空間の意味があまりわかってないので優しく教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 部分空間の次元
以下のベクトルについて問いに答えなさい。tは転置を表す。 a1=t(1,1,0), a2=t(0,-2,2λ), a3=t(λ,λ+1,-1), a4=t(2,3,1-2λ) 問：これらのベクトルによって生成される３次元実数空間R3の部分空間の次元が２になるようにλの値を決めなさい。 という問題があるのですが、これを行列にして計算していくと、 ｜1 0 λ 2 ｜ ｜0 -2 1 1 ｜ ｜0 0 -1+λ 1-λ｜ というようになるのですが、ここからどうすればいいのでしょうか？ 次元は線形独立なベクトルの最大個数らしいのですが、ここまで導くことができません。 どなたかこの問題解ける方いらっしゃいますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 【大学１年 線形代数学－基底・部分空間】
次の問題が分からず困っています。 どなたか、解き方をお分かりでしたら、教えて下さい。 宜しくお願いします。 「WはR4の部分空間であり、 {(1,1,1,2), (2,1,2,3), (a,3,-a,a)} と {(3,1,1,1), (b,b,0,b-1),(2c,1,c,c)} のベクトルの組は、 いずれもWの基底であるとき、a,b,cを求めよ。」 【正解】a=1,b=2,c=2 とテキストにありました。 両組の（１次結合）＝０として、計算しても、 正解の様に一意に定まるような解を得ることができませんでした。
- 締切済み
- 数学・算数
補足
すみません、いろいろ調べてみたのですが、 (1,0,0)と(0,1,0)がなぜWの元でないのかよくわかりません・・・ 知識不足で申し訳ないです。