線形代数の基底と時限について

質問

ベクトル空間Ｗが
　　　Ｗ＝<a,b,c,d>
で与えられている時、
　　　dimＷ＝4
ならば、a,b,c,d　が１次独立であることが示せなくても
{a,b,c,d}はＷの基底であるといえますか？

回答No.4

rinkun · ベストアンサー

Ｗ＝<a,b,c,d>
と
dimＷ＝4
から
a,b,c,d　が１次独立
が示せます。

なぜなら、a,b,c,d が一次従属ならこれらの一つ、
たとえば d が他の3つの線形結合で表現でき、従って
Ｗ＝<a,b,c>
が言え、これから
dimＷ≦3
が言えてしまうからです。

お礼

すっきりしました！どうもありがとうございました。

回答No.3

ojisan7

ん～っ？？？
　Ｗ＝<a,b,c,d>
という表記は{a,b,c,d}はＷの基底ということですが・・・。

しかし、質問者さんは
「Wはa,b,c,dで張られるベクトル空間」
ということを言いたいのですね。４つのベクトルで張られる部分空間の次元は明らかに４次元以下です。この場合はdimＷ＝4ですから、

>{a,b,c,d}はＷの基底であるといえますか？

に対しては、「ぴんぽ～ん」です。(^_^)

補足

｛a,b,c,d｝のＷの基底となる条件は、
「Ｗ＝<a,b,c,d>で表わされること、かつ、a,b,c,dが一次独立であること」ですよね？
この場合一次独立であることは示さなくても基底であるということは明らかということですか。
どうもありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

そもそも <a, b, c, d> の定義は?

補足

説明不足で申し訳ないです。
ベクトルa,b,c,dについて

<a,b,c,d>={ ka+lb+mc+nd ｜k, l, m, nは定数｝

という定義です。

回答No.1

guuman

dimWの定義を書いてみい

補足

こちらも説明不足で申し訳ないです。

dimＷとはベクトル空間Ｗにおける基底の個数です。