線型代数（基底の求め方について）

質問

標準ユークリッド内積が与えられた実線型空間Ｒ４について、ｖ１、ｖ２、ｖ３、ｖ４で張られる部分空間をＷとします。また、

ｖ１＝ｔ（１　１　－２　０）、ｖ２＝ｔ（１　－１　０　－２）、ｖ３＝ｔ（－２　１　１　３）
ｖ４＝ｔ（－１　２　－１　３）

としたとき、Ｗとその直交補空間（Ｗ’）の基底についてそれぞれ求めたいのですが、まずＷの場合はｖ３とｖ４が一時独立であり、ｖ３、ｖ４を用いてｖ１、ｖ２を表すことができるので、Ｗの基底はｖ３、ｖ４だと思うのですがこれで大丈夫のでしょうか？
　また、Ｗの直交補空間の基底を求める場合は、まずｖ１～ｖ４とＷ’の任意の元ｘとの内積を考えていけばよいのでしょうか？
以上の２点なのですが、どなたか考え方を教えていただけないでしょうか？大変読みにくい文章かと思いますが、よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba

>Ｗの基底はｖ３、ｖ４だと思うのですがこれで大丈夫のでしょうか？

基底の定義に従えばOKか否かはすぐにわかります．
逆にいえばなぜ「大丈夫か？」と疑問に思うのでしょうか？

>Ｗの直交補空間の基底を求める場合は、まずｖ１～ｖ４とＷ’の任意の元ｘとの内積を考えていけばよいのでしょうか？

内積は線型（正確には双線型）だから，
Wの任意の元との内積を考えることと
Wの基底だけとの内積を考えることは同じです．

お礼

遅くなりましたが、お返事ありがとうございます。
単純に問題の解答がなかったので、お聞きしました。
ありがとうございました。