行列の基底問題

質問

行列の基底、次元を求める問題で質問があります。
この問題の解法は階段行列を求めていくやり方と理解しているのですが、ひとつわからない点があります。

３次の連立方程式
x + 3y + 2z = 0
2x + y = 0
5y + 4z = 0
この基底、次元を求めよという問題で、階段行列変形した結果が
1 0 -2/5
0 1 4/5
0 0 0
このようになり、次元は１、基底は[-2/5 4/5 1]と考えたのですが、答えを見ると基底は[2/5 -4/5 1]となっておりました。

なぜこうなるかのご指導よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

「行列の基底」とか、「方程式の基底」とか、いったい何のこっちゃ？
と思ったら、どうやら、
「方程式の次元、基底」は、解空間の次元、基底のつもりらしい。
「方程式の次元」なんて言うと、rank のことかと思ってしまうけれど。

さて、その上で、
階段行列の内容から、方程式の rank が 2 だから、解空間の次元は 3 - 2。

[x y z] = [-2/5 4/5 1] が解空間の基底にならないことは、
5y + 4z = 0 を見れば判る。
[-2/5 4/5 -1] ならば、[2/5 -4/5 1] と同じ空間を張るのだが。
(私なら、[2 -4 5] が好きだな。)

お礼

書き方が分かりにくくて申し訳ありません。

理解できました。ありがとうございました。