微積の授業での問題です

質問

解き方と答えをおしえてください

連立方程式
x-y+z=1
x+y-z=0 を解け

またこの解は何次元空間における何を表すか述べよ。

よろしくおねがいします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

３個の変数に独立した２つの方程式しかないので解は１つの変数は自由に与えることができます。

　x-y+z=1 ...(1)
　x+y-z=0 ...(2)

(1)+(2)より　2x=1 ∴x=1/2
(2)より　1/2+y-z=0 ∴y-z=-1/2
z=c(定数)とおくと　y=c-(1/2)

以上から,連立方程式の解は
　(x,y,z)=(1/2,c-(1/2),c) (cは任意の定数)　...(5)
となリます。
この解は　k=c-(1/2)とおけば
　(x,y,z)=(1/2,k,k+(1/2)) (kは任意の定数) ...(6)
と書くこともできます。

>この解は何次元空間における何を表すか述べよ。
(1),(2)の平面の交線の直線を表します。

より詳しく説明すると
(1)と(2)はそれぞれ、3次元空間（3次元直交座標系、互いに直行するx軸、y軸、z軸をもつ座標系）における平面を表し、連立方程式の解は、２つの平面が交わる直線、つまり２平面の交線を表します。
交線の直線のパラメータ表示が(5)または(6)です。
パラメータを使わない交線の直線の表現は、
任意定数を消去した
x=1/2,y=z-(1/2)
となります。

お礼

詳しい回答ありがとうございます

わかりやすくて助かりました。

回答No.1

ereserve67

微積というより線形代数でしょう．

x-y=1-z
x+y=z

としてx,yをzで表します．

x=1/2
y=(1-2z)/(-2)=z-1/2

∴(x,y,z)=(1/2,z-1/2,z)=(1/2,-1/2,0)+z(0,1,1)

これは，

『3次元空間のおける

点(1/2,-1/2,0)を通り，方向ベクトル(0,1,1)の直線』

です．

お礼

なるほど

回答ありがとうございましたm(_ _)m