基底

質問

a1=t(1,1,1,1) a2=t(1,0,1,0) a3=t(2,1,2,1) a4=t(-1,2,-1,0) a5=t(4,1,4,1)で生成される空間をＷとする。Ｗの基底と次元を求めてくださいお願いします。ちなみにt()は転置行列です。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

機械的に行うには、a1～a5 の成分を並べた行列
１　１　２　-1　４
１　０　１　２　１
１　１　２　-1　４
１　０　１　０　１
の階数(rank)を求めればよいです。その値が W の次元になります。

階数の機械的な求め方については、
http://www1.tcue.ac.jp/home1/ymiyatagbt/hakidasi.pdf　の 13.4 など。

階数が判れば、a1～a5 の中から、その個数で一次独立な組を
試行錯誤または直勘で見つければよい。その組がひとつの基底になります。

回答No.2

htms42

＃１でいいのですかちょっと違うことをやってみます。
１次結合の計算が見やすくなります。

４次元の空間の座標を（ｘ、ｙ、ｚ、ｗ）とします。
ａ１，ａ３，ａ５はｗ＝１の平面内に、ａ２，ａ４はｗ＝０の平面内にあります。
ベクトルｃ＝（0,0,0,1）とｂ１～ｂ５を考えます。
ｂ１＝ａ１－ｃ＝（1,1,1,0）
ｂ２＝ａ２　　＝（1,0,1,0）
ｂ３＝ａ３－ｃ＝（2,1,2,0）
ｂ４＝ａ４　　＝（-1,2,-1,0）
ｂ５＝ａ５－ｃ＝（4,1,4,0）

3次元の空間の中に５つのベクトルが入っていることになります。
独立なベクトルの数は3つ以下です。
ｂ１とｂ２でｂ３、ｂ４、ｂ５を表すことができるというのは見やすくなっているはずです。
ｂ２－ｂ１＝－（0,1,0,0）
ｂ３－ｂ１＝ｂ２
ｂ４＋ｂ１＝（0,3,0,0）＝－３（ｂ２－ｂ１）
ｂ５－ｂ１＝３ｂ２

独立なベクトルとしてｂ１、ｂ２、ｃを取るとａ１～ａ５のベクトルは全て表すことができます。
ｂ１、ｂ２は成分の数字が１と０だけですから表現が簡単になっています。
（1,1,1,0）、（1,0,1,0）、（0,0,0,1）の3つです。
他のベクトルを基底にとってもかまいません。
（0,1,0,0）、（1,0,1,0）、（0,0,0,1）の表現の方がより簡単ですね。
これだと３つのベクトルは直交しています。
（ａ１～ａ５の中のどれかが基底でなければいけないということはありません。ａ１～ａ５を表すことのできる３つのベクトルであればいいのです。）

回答No.1

muturajcp

xa2+ya3+za4=0
→
xt(1,0,1,0)
+yt(2,1,2,1)
+zt(-1,2,-1,0)
=0
→
x+2y-z=0
y+2z=0
y=0
z=0
x=0
だから
a2,a3,a4は一次独立

a1=a3-a2
a5=2a2+a3
だから
Wの基底は
{a2,a3,a4}
次元は
3