基底と次元

質問

D1={[a1 a2 a3 a4] | a1+ a3 + 3*a4 =0,2*a1-a2+a3-3*a4=0},
D2={[a1 a2 a3 a4] | a1-a2+2*a3=0, 2*a2-a3+3*a4=0}

とR^4の部分空間がある。
D1∩D2,D1+D2の基底と次元を求めよ

以上のような問題なのですが、D1,D2別々の基底と次元は求められるのですが、
D1,D2が関わりあった上記のような問題の場合、どのように解けばよいのでしょうか？
どなたかご教授お願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

D1∩D2 については、D1,D2 それぞれを定義する
方程式の係数を行として並べた行列を作り、
行の交換を避けた基本変形で階段行列へ変形
すればよいです。その結果 rank に寄与する行を
最初の行列から抜き出したものが、
D1∩D2 を定義する方程式になります。あとは、
D1 や D2 のときと同様に基底を求めてください。

D1+D2 については、D1,D2 それぞれの基底を
列として並べた行列を作り、
列の交換を避けた基本変形で階段行列へ変形
すればよいです。その結果 rank に寄与する列を
最初の行列から抜き出したものが、
D1+D2 の基底になります。

お礼

ありがとうございました。
理解できました。

補足

なぜ基本変形の際、行や列の交換を避けたほうがよいのですか？