数学（確率）得意な方！（> <）

質問

先日学校で出された確率の問題なのですが、「解ける人だけ解きなさい」ということで、答えだけ与えられました。少しチャレンジしてみたものの、残念ながら答えは全く合わず…（； ；）一体どうしてそうなるのか知りたくてたまりません！

【問】
円周を12等分した点を反時計回りの順にP1、P2、P3…P12とする。このうち異なる3点を選び、それらを頂点とする三角形を作る。

（1）このようにして作られる三角形の個数は【アイウ】個である。
また、このうち正三角形は【エ】個で、直角二等辺三角形は【オカ】個である。

（2）このようにして作られる三角形が、正三角形でない二等辺三角形になる確率は【キク/ケコ】である。また、直角三角形になる確率は【サ/シス】である。

（3）このようにして作られる三角形の形によって、次のように得点を定める。
正三角形のとき　5点
直角二等辺三角形のとき　3点
正三角形でなく直角二等辺三角形でもない二等辺三角形のとき　2点
直角二等辺三角形でない直角三角形のとき　1点
上のいずれでもないとき　0点

このとき、得点の期待値は【セ/ソ】点である。

答えは、【アイウ】220、【エ】4、【オカ】12、【キク/ケコ】12/55、【サ/シス】3/11、【セ/ソ】4/5
です。
どなたか御助け願いますm（ ）m！

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
せっかく考えたので、どこまでできたか（解いたか）書いてほしいです。＾＾

確率の問題ですが、「いか漏れなく、重複せずに数えるか」がポイントですね。
・【アイウ】は単純に考えれば、求まります。（ここは求められているのでは？と思っていますが）

・【エ】は重複しないように意識します。逆にどうなると重複するのかを考えてもいいです。
正三角形を「回転」させる意識をもつと数えられます。

・【オカ】は直角二等辺三角形ですが、このような三角形を作るための条件を整理しておきましょう。
円周角が直角ということは、それに対する弦は○○でなければなりません。
そして、直角となる角の位置も決まります。

ここから先ですが、
・二等辺三角形は△△とおり。（正三角形も直角二等辺三角形も含めた数です）
・正三角形は【エ】とおり。
・直角二等辺三角形は【オカ】とおり。
・直角三角形は××とおり。（直角二等辺三角形も含めた数です）

のそれぞれを求めます。

・「正三角形でない二等辺三角形」は、△△－【エ】とおりです。
・同様に「正三角形でなく直角二等辺三角形でもない二等辺三角形」は、
△△－【エ】－【オカ】とおりです。
・最後の「直角二等辺三角形でない直角三角形」は、××－【オカ】とおりです。

このあたりは、集合の要素の数と同じような数え方をしています。
あとは、期待値の計算をしていけばよいです。

まずは、何とおりあるのかを数えることを意識してみてください。

お礼

No.2の方のお返事にも書きましたが、ア～カまでは解答までいけました！紛らわしくてごめんなさい(>_<;)！
皆様とても詳しいアドバイスを頂きましたが、naniwacchi様の考え方で確信までいけました！おかげで無事全部解けました(*^o^*)分かりやすい説明をありがとうございました！

回答No.2

nattocurry

まったく合わず、ということですが、、【エ】4、【オカ】12　ですら解らないのでしょうか？
これはそのまますぎて説明のしようがないと思うのですが・・・

お礼

後半があまりにも見当違いな解答だったので、誇張しすぎてしまいました…すいません(>_<;)ア～カまでは答えは合いましたが、解答の段取りに使用するかと記載させて頂きましたっ。
しかし今はみなさんのアドバイスで非常にすっきりしています♪ありがとうございました(*^o^*)

回答No.1

Kules

まあ解ける人だけ解きなさいだったら解かなくてもいいんじゃないの～「解けたか解けなかったか」よりも「現状この問題を自分は解けない」という事実の方が大事だと思いますが。
と言っててもしょうがないのでヒントだけ。

(1)問題分に書かれている通りです。「12点のうち３点を選ぶ」だけです。３点を選ぶ順番は関係ないということに注意しましょう。
正三角形は描くしかないかもしれません。というか描くだけで求まります。
直角三角形というのは一つの角が90°ということですが、直径の円周角が90°であることを考えると、三角形の３点のうち２点が直径を作らなければなりません。その中での二等辺三角形ですから、残り１点の場所も決まります。

(2)(1)が求まっていれば確率を求めることと場合の数を求めることはほとんど変わりないので場合の数の求め方だけ。
三角形は３辺からできていますが、この３辺はそれぞれ円の弦であると解釈できます。
そして、どれか一つの弦を決めた時、その弦が底辺となるように（つまり、他の２辺の長さが等しくなるように）しようと思うと、残り１点の取り方は多くて２通りです。（１通りになる時がたまにあります）また、二等辺三角形というのは２辺が等しい状態なので、どれか底辺を決めて…と考えれば（例えば△ＡＢＣの内ＢＣを底辺にしようと考えれば）ＡＢ＝ＢＣとなることはありません。ただ一つの例外（正三角形）を除けば。ということで、とりあえず二等辺三角形をどんどん作っていって、その中から正三角形になるものの数を引いてやれば求まります。
直角三角形については(1)と考え方は変わらないので省略します。

(3)頑張って計算するだけです。

参考になれば幸いです。

お礼

確かに出来なかったのは事実ですし、やらなくても良いものなのでみなさんの手間をかけてしまい申し訳ありません……;
ですが、詳しいアドバイスのおかげで全部解答まで解けました！！全部解るとまでは期待していなかったですか、非常にすっきりしました。ありがとうございました(*^o^*)