集合に関する問題。

質問

三角形が全部で36個ある。
このうち、直角三角形であるものは21個、二等辺三角形であるものは17個である。
また、二等辺三角形のうち正三角形であるものは5個である。
さらに、直角三角形でも正三角形でもない二等辺三角形の個数と、
二等辺三角形でも正三角形でも直角三角形でもない三角形の個数は等しいという。
このとき、二等辺三角形でない直角三角形の個数はいくつか。

【解説】
直角三角形の集合をＡ
二等辺三角形の集合をＢ
正三角形の集合をＣ
それぞれの集合に属する三角形の個数をｎ（Ａ）、ｎ（Ｂ）、ｎ（Ｃ）とする。
題意より、ｎ（Ａ）＝21、ｎ（Ｂ）＝17、ｎ（Ｃ）＝5である。

ここで、直角二等辺三角形の個数すなわりｎ（Ａ∧Ｂ）＝Ｘとする。
直角三角形でも正三角形でもない二等辺三角形の個数は、
17－（Ｘ＋5）＝12－Ｘ…（１）
★また、直角三角形であるかまたは二等辺三角形である三角形の個数は、
21＋17－Ｘ＝38－Ｘ…（２）
したがって、（２）より、二等辺三角形でも正三角形でも直角三角形でもない三角形の個数は、
36－（38－Ｘ）＝Ｘ－2…（３）
ここで、題意より、（１）＝（３）である。
すなわり、12－Ｘ＝Ｘ－2
2Ｘ＝14
∴Ｘ＝7

よって、二等辺三角形でない直角三角形の個数は、21－Ｘ＝21－7＝14

【答え】14個

について、「★以降」の考え方が分かりません。
１つ１つの数式が、次に何を求めるための下準備として計算しているのか、
その数式を解くことによって、次にどのように発展させて答えを求めることができるのかが分かりません。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

集合の問題を考える場合は、図を書くと分かりやすいです。
長方形の中に円と円が交わってるってやつです。（言葉で説明するのは難しい^^;)

以下、図を書きながら考えてください。
まず、
(1) 三角形全体の集合（図にすると長方形の部分です）の中に
(2) 直角三角形の集合（図にすると長方形の中の円の部分）
(3) 二等辺三角形の集合（図にすると長方形の中の円の部分）
があります。2は、
(4) 直角二等辺三角形の集合（図にすると(2)と(3)の円が交わったラグビーボールみたいな形の部分）
(5) 二等辺三角形でない、直角三角形の集合（図にすると(2)の円のなかで、(4)でない部分）
の２つに分かれます。
次に3は、
(6) 直角二等辺三角形の集合（図にすると(2)と(3)の円が交わったラグビーボールみたいな形の部分）＝(4)と同じですね。
(7) 正三角形の集合（図にすると、(3)の円の中に(6)の部分と交わらないように、小さい円を書くことになります）
(8) 「直角三角形でも正三角形でもない二等辺三角形」の集合（図にすると、(3)の円のうち、(6)でも(7)でもない部分です。）
の３つに分かれます。
最後に
(9) 直角三角形でも二等辺三角形でもない三角形の集合（図にすると、(1)の長方形の中で、(2)と(3)の円の外側部分になります）
がありますね。

もうひとつ、ポイントは問題文の「二等辺三角形でも正三角形でも直角三角形でもない三角形」ですが、正三角形は二等辺三角形に含まれるので、「二等辺三角形でもでも直角三角形でもない三角形」＝(9)と同じことなんです。

問題で"求めよ"といわれているのは(5)の数ですね。
では、条件にそってそれぞれの数を求めてみましょう。
(1)= 36 (題意より）
(2)= 21（題意より）
(3)= 17（題意より）
(4)=(6)= X と置いたんですよね。
(5)= 21-X ですね。
(7)= 5 （題意より）
(8)= 17-5-X=12-X です。　これが解説の(1)式です。
(9)= 36 -(21+17-X) =X-2 これが解説の(2)から(3)式です。
あとひとつ、「直角三角形でも正三角形でもない二等辺三角形の個数と、二等辺三角形でも正三角形でも直角三角形でもない三角形の個数は等しい」という条件は、(8)=(9)であることを表してます。
よって、12-X = X -2 として　X= 7 と求めているわけです。
あとは、問題は(5)を求めるので、21-7 = 14 ですね。

では、ここで(9)式の解説。
図を書きながら、ここまで読んでいただければピンときたかもしれませんが、
36 -(21+17-X) は、「長方形－２つの交わった円」を計算しています。
21+17-X が　２つの交わった円の部分です。
21+17 だと２つの円＜直角三角形の数と二等辺三角形の数＞を足しているわけですが、交わっている部分すなわち上記(4)=(6)の集合＜直角二等辺三角形の数＞を余計に足していることになります。だから、その数Xを引いている訳です。

長々と書きましたが、理解できましたでしょうか。

お礼

すごく分かりやすかったです。
お蔭様で、解けましたー。
もう一度、解説を見ないで解いてみます。
本当にありがとうございました。

回答No.4

hinebot

#1です。
回答の中で言った図のサンプルです。
ページ中ほどに、「ド・モアブルの法則」というのがあります。
A,Bはそのまま当てはめれますね。正三角形の集合Cに気をつけてください。

サイトのなかで、AやBの上に線（バー）がついているのは、補集合のことです。

※全体集合の中に部分集合Aがあって、「Aでない集合」のことをAの補集合といいます。

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/fe_set1.html

お礼

この図、解説にも載っていました。
図があるにも関わらず、問題がよく分かりませんでした。
再度に渡り、本当にありがとうございました。

回答No.3

zabuzaburo

>１つ１つの数式が、次に何を求めるための下準備として計算しているのか、
>その数式を解くことによって、
>次にどのように発展させて答えを求めることができるのか

が分かるような解法でやってみましょう。

この問題では、三角形を
(1)「二等辺三角形・正三角形かどうか」
(2)「直角三角形かどうか」
という観点で分類しています。
(1)によれば
「全ての辺の長さが異なる三角形」
「二等辺三角形だが正三角形ではないもの」
「二等辺三角形であり、さらに正三角形でもあるもの」
の3つに分類され、このそれぞれに対して
(2)を満たすかどうかで枝分かれしますから、
3×2 = 6種類になりますが、このうち
「正三角形であり同時に直角三角形である」ものは
存在しないので、これを除いて
すべての三角形が5種類に分類されることに注目しましょう。
すなわち、
(a)「全ての辺の長さが異なり、直角三角形でもない、普通の三角形」
(b)「二等辺三角形だが正三角形ではなく、直角三角形でもないもの」
(c)「正三角形」
(d)「全ての辺の長さが異なる直角三角形」
(e)「直角二等辺三角形」
の5種類であることをもう一度納得するまで考えてみてください。

これらを用いて条件を式に直すと、
(ア)a + b + c + d + e = 36
(イ)d + e = 21
(ウ)b + c + e = 17
(エ)c = 5
(オ)b = a
となります。未知数5つ、方程式5つであり、
5元連立方程式ですから解けるというわけです。
実際にこの方法で解くかどうかは別として、
「この問題はこういう仕組みだから、原理的に解ける！」
という見通しを得ることが重要です。

「解説」が理解しにくいのは、未知数を導入する際に、
上のような最小単位に対して割り当てるのでなく、
例えば「d + e」に対してn(A)という文字を割り当てるため、
いったいいくつ未知数を用意すればよいのか、
どの順番に処理すればよいのか、まごついてしまうわけです。

(エ)(オ)から、他の3つの方程式の
「c」のところはすべて「5」に、
「b」のところはすべて「a」に書き換えることができます。
(ア*)a + a + 5 + d + e = 36 すなわち 2a + d + e = 31
(イ*)書き換えるところが無く、d + e = 21
(ウ*)a + 5 + e = 17 すなわち a + e = 12
これで3元連立方程式(a, d, e)になってしまいました。
これを解けば(a, d, e) = (5, 14, 7)となり、
(a, b, c, d, e) = (5, 5, 5, 14, 7)と求まります。
問われている「二等辺三角形でない直角三角形の個数」とは d のことですから、
答は「14個」となります。

●集合の個数の問題は、突き詰めれば連立1次方程式に過ぎません。

お礼

こんな方法もあることを、初めて知りました。
とっても新鮮な気分です。
ともしも問題が解けて良かったです。
本当にありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

『直角三角形であるかまたは二等辺三角形である三角形』の集合はＡ∪Ｂで, ＡとＢには重なりＡ∩Ｂがあることより, その個数はそれぞれの個数の和から重なりを引いたものなので,
n(Ａ∪Ｂ)＝n(Ａ)＋n(Ｂ)－n(Ａ∩Ｂ)=21＋17－Ｘ=38－Ｘ…（２）
です．
ここで, 正三角形は二等辺三角形に完全に含まれる(二等辺三角形の特殊な場合だから)に注意すると, (2)が『二等辺三角形または正三角形または直角三角形である三角形』・・・(*)の個数に等しいことが分かります.

すると, 『二等辺三角形でも正三角形でも直角三角形でもない三角形』の集合は、(*)の集合の補集合で表されるので，個数は(2)を全体から引いて
36－（38－Ｘ）＝Ｘ－2…（３）
となり, 題意より(1)と(3)が等しいので...となってＸが決まります.

そして『二等辺三角形でない直角三角形』は直角三角形21個から直角二等辺三角形Ｘ＝７個を引いて14個となるわけです．
さらに不明の点があれば，補足なさると，どなたか答えて下さるでしょう．

お礼

お蔭様で解決しました。
ありがとうございました。