数学Ｂのベクトルの問題についての質問です

質問

数学Ｂのベクトルの問題についての質問です
ずっと考えても解けないので質問しました
回答よろしくお願いします…

問題:平面ベクトルa,b,cがa・c=b・c=-3√3・a・b
|a|=|b|=|c|=1を満たすとき、a・bの値を求めよ。

小文字の英語は全てベクトルで||は絶対値です
3√3は『さんルートさん』です

本当に困っているのでよろしくお願いします

回答No.2

info22_

解き方は#1さんの方法で良いとお思いますが解いて見ましたか？
行き詰っているなら途中計算を書いて、何処が分からないか補足質問するようにして下さい。
|a|=|b|=|c|=1、a・c=b・c=-(3√3）a・b
であることから、
a・c=|a|*|c|cosθ=cosθ（0≦θ≦πにとる）
b・c=|b|*|c|cosφ=cosφとおくと
φ=-θとなる。
またこのとき
θが鋭角のとき
　a・b=|a|*|b|cos(2θ)=cos(2θ)
θが鈍角のとき
　a・b=|a|*|b|cos(2(π-θ))=cos(2θ)
となるので
「a・c=b・c=-3√3・a・b」から次式が得られる。
cosθ=-(3√3）cos(2θ)
cosθ=-(3√3）(2cos^2(θ)-1)
cosθ=x (|x|≦1)とおくと
x=-(3√3）(2x^2-1)
18x^2+√3x-9=0
x=cosθ=-(1+√217)/(12√3)≒-0.7568542348 (θは鈍角)
またはx=(√217-1)/(12√3)≒0.6606291899 (θは鋭角)
いずれも |x|≦1を満たしている。
したがって
a・b=|a|*|b|cos(2θ)=cos(2θ)=2cos^2(θ)-1
=2x^2-1
x=-(1+√217)/(12√3)≒-0.7568542348のとき
　∴a・b=(1+√217)/108≒ 0.1456566654 …(1)
x=(√217-1)/(12√3)≒0.6606291899のとき
　∴a・b=-(√217-1)/108≒-0.1271381469 …(2)

以上から、a・b=(1±√217)/108

回答No.1

Mr_Holland

ベクトルのなす角に注目して求めてみてはいかがでしょうか。
　ベクトルa,cがなす角をθ、b,cがなす角をφとおくと、a・c=b・c から　θ=±φ　が得られます。
　3つのベクトルは平面ベクトルですから　このうち θ=φ のとき　a=b で　cosθ=3√3 となってしまいますので、θ=φ　は除外されます。
　θ=-φ のときb,cのなす角は 2θ になり、内積の式から次の式が得られます。
　　cosθ=-3√3 cos(2θ)
　cosの倍角の公式を利用して、cosθの2次方程式にすればcosθが求められます。
　そうすれば cos(2θ)も分かり、a・b=cos(2θ) が求められます。

　別の方法として、座標で考える方法もあります。
　この場合、3ベクトルの始点を原点Oにおいて、ベクトルc方向にx軸を引き、3つのベクトルの終点をそれぞれ点A(x,y),B(x,±y),C(1,0) (ただし x^2+y^2=1)とおいてから、B(x,-y)を導き xの2次方程式を立てて a・b=x^2-y^2 を求めても良いと思います。