位相空間の問題です。

質問

位相空間の問題です。

3変数2次形式
f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1
に対し
C_f:={(x_1,x_2,x_3)∈R^3;f(x_1,x_2,x_3)>0}
とおき、R^3の相対空間によってC_fを位相空間とみなす。
このときC_fの連結成分の個数を求める問題です。

図示して考えているんですが、3次なので頭が追いつきません…。
何か良い方法があれば、教えてください。お願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

2次形式を対称行列で表現する方法はご存知ですね。

3次対称行列Aと列ベクトルXを次のように置きます。
　　A=(0,1,1; 1,0,1; 1,1,0) （;は行替えを表す）
　　X=(x1; x2; x3)
すると、
　　f(x1,x2,x3)=tXAX　（tは転置行列を表す）
となります。

Aの固有値が 1,-0.5,-0.5ですから、適当な直交行列Mが存在して
　　A=tMBM
　　B=(1,0,0; 0,-0.5,0; 0,0,-0.5)
となります。

よって、
　　Y=(y1;y2;y3)=MX
　　g(y1,y2,y3)=y1^2-0.5y2^2-0.5y3^2
とすれば、f(x1,x2,x3)>0の条件はg(y1,y2,y3)>0と同値になります。

XにYを対応させる写像が位相同型なので、f(x1,x2,x3)>0なるXの集合の連結成分の個数は、g(y1,y2,y3)>0なるYの集合の連結成分の個数に一致します。

g(y1,y2,y3)>0なるYの集合は、頂点で接する2つの円錐になります。よって、連結成分は2個です。

お礼

理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

>3次なので頭が追いつきません…。

ええと。図示すらできなかった、ということですか？

お礼

解決しました。
ありがとうございました。