この問題はどのように解けばよいのでしょうか?

質問

この問題はどのように解けばよいのでしょうか?

次の漸化式によって定義される数列{An}の一般項を求めよ.

A1=1, A(n+1)=2√An

この手の問題が全くと言っていい程理解できてません。
説明付きでご回答頂けたら嬉しいです。
よろしくお願い致します。

回答No.2

nag0720

A[n]=2*A[n-1]^(1/2)
A[n-1]^(1/2)=2^(1/2)*A[n-2]^(1/2^2)
A[n-2]^(1/2^2)=2^(1/2^2)*A[n-2]^(1/2^3)
A[n-3]^(1/2^3)=2^(1/2^3)*A[n-3]^(1/2^4)
・・・・・
A[2]^(1/2^(n-2))=2^(1/2^(n-2))*A[2]^(1/2^(n-1))
A[1]^(1/2^(n-1))=2^(1/2^(n-1))*A[1]^(1/2^n)=2^(1/2^(n-1))

これらを全部掛け合わせると

A[n]=2*2^(1/2)*2^(1/2^2)*2^(1/2^3)*・・・・*2^(1/2^(n-2))*2^(1/2^(n-1))
=2^{1+1/2+1/2^2+1/2^3+・・・・+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)}

2の指数部分は等比級数になっています。

回答No.1

naniwacchi

両辺対数をとって、一般項を置きなおす。

その前に、対数を使うために忘れてはいけない「条件」がありますね。
証明までする必要はないと思いますが、一般項を求めた後にその条件が満たされていることを確認しておいてください。