数列の問題について。

質問

数列{ａn}は
a1＝3、an＋1＝２an＋３＾n＋１(n＝１、２、３・・)
を満たす。この時一般項anを求めよ。

これは漸化式であり、もしかしてΣを使うのかとは思いますが、全く分かりません。
ヒントで良いので教えてくださると助かります。

回答No.4

BO-BO-keshi · ベストアンサー

こんにちは！ちょっと長くなってしまいました～すみません…(-_-;)

問題の式を
a[n+1] = 2a[n] + 3^n + 1
として話を進めます。
（　a[n+1] = 2a[n] + 3^(n+1)　ではない）

私なりの解き方です。漸化式の定番な解き方は

手順１…a[n]を使って表される別の数列b[n]をうまくとって、b[n]なら簡単に一般項が求められるようにする。
手順２…b[n]の一般項からa[n]の一般項を求める。

言葉にするとややこしいので、具体的には以下のようなやつです。

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例）　a[1] = -1、a[n+1] = 2a[n] + 3
二つ目の式を（特性方程式などを使って）変形すると
a[n+1] + 3 = 2( a[n] + 3 )　　　　…◎
となるので、b[n]=a[n]+3とおくと、
b[n+1] = 2b[n]
となり、b[n]は公比2の等比数列となる。b[1] = a[1] + 3 = 2であるので、
b[n] = 2^n
となり、b[n] = a[n] + 3より
a[n]=b[n] - 3 = 2^n - 3
となる。
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私的には、この方法は結構いろいろな漸化式に使えます。（もちろんさっぱりうまくいかない漸化式もありますが）問題は上の例の◎のついた部分です。「どう置き換えれば簡単な形の漸化式を作れるか」と言う問題ですね。

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まず、ひょっとしたらこんな形に変形できないかな…？と思われる形の式を考える。問題の式について言えば
a[n+1] + α3^(n+1) = 2{ a[n] + α3^n } + 1
とか
a[n+1] + α3^(n+1) + β = 2{ a[n] + α3^n + β }
とかはどうか？以下では下の式について考えます。これを展開して問題の式と同じ形にします。つまり
→　a[n+1] + 3α*3^n + β = 2a[n] + 2α*3^n + 2β
→　a[n+1] = 2a[n] - α*3^n + β
とします。ここで問題の式と係数比較する事で、
α = -1
β = 1
とすれば問題の式と同じ式になることが分かる。つまり、問題の式は次のように書き直せる
a[n+1] - 3^(n+1) + 1 = 2{ a[n] - 3^n + 1 }
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このように書き直せれば後は同じです。b[n] = a[n] - 3^n + 1 とおいてやると、
b[n+1] = 2b[n]
となり公比が2の等比数列と分かり、b[1] = a[1] - 3^1 + 1 = 1 である事も合わせて
b[n] = 2^(n-1)
と分かります。よって
a[n] = b[n] + 3^n - 1 = 2^(n-1)+ 3^n - 1
となります。

どうでしょうか？

お礼

回答が大変遅れてしまい、
大変申し訳ありません。
しかし、皆さんのおかげで無事解答にたどり着くことができました。
失礼な対応をしてしまいすみませんでした。

回答No.3

gones

a_(n+1)-k・3^(n+1)-h=2(a_n-k・3^n-h)
となる k , h があれば、等比数列に帰着できます。
そして、この問題では k , h があります。

回答No.2

shkwta

とりあえず、こんな感じ？

(1)まず、最初の５～６項ぐらいを求めてみる。
(2)一見、等比数列っぽいが、等比数列からすこしずれている。
(3)等比数列を仮定して、それと実際とのずれを求めてみる。
(4)ずれの階差をとってみると、なにやら規則性が…。
(5)その規則性を手がかりに式を作り、
(6)元の漸化式に代入してみると、ほら、ぴったり。

では、がんばってください。

もう一つの方法：
b[n] = a[n] + c
とおいて、cを適当な値にするとNo.1様の漸化式に変形できます。

回答No.1

proto

もし漸化式が
　　A[n+1]=2*A[n]+3^(n+1)
なら
両辺を3^(n+1)で割って
　　A[n+1]/3^(n+1)=(2/3)*(A[n]/3^n)+1
として
　　B[n]=A[n]/3^n
と置けば
　　B[n+1]=(2/3)*B[n]+1
となり特性方程式を解いて変形すれば
等比型に持ち込めます

　　A[n+1]=2*A[n]+(3^n)+1
なら、わかりません