微分を教えてください。

質問

微分を教えてください。

・この関数を微分する。
y=x^x^x

xのx乗のx乗です。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

まず
z=x^xの微分を考える。
対数をとる。
log(z)=xlog(x)
z'/z=log(x)+1=log(x)+log(e)=log(ex)
z'=(x^x)'=(x^x)log(ex)

y=x^x^x
対数をとって
log(y)=(x^x)log(x)

微分
y'/y=(x^x)'log(x)+(x^x)/x=(x^x)log(ex)log(x)+x^(x-1)

y'=(x^x^x)'
=(x^x^x)(x^x)log(ex)log(x)+(x^x^x)x^(x-1)

∴y'=(x^(x+x^x))log(ex)log(x)+x^(x-1+x^x) …（答）

回答No.4

alice_44

なぜ、ここでグラフの話？
微分のしかたの質問だが。

回答No.3

info22_

#1です。

補足します。
y=x^x^xの微分結果は最終的な式はまとめ方が色々ありますが、
A#1のy'、A#2のy'も式の形は違いますが、いずれも正解です。

また数式処理ソフトMaximaや数学計算サイトWolfram Alphaで計算した結果は
次の同じy'の式が得られます。
y'=x^x^x?(x^x?log(x)?(log(x)+1)+x^(x-1))
まとめ方による差でいずれのy'の式も正解でグラフに描くと一致します。

添付図にy=x^x^xのグラフ（水色の線）とy'のグラフ（黒、青、赤の線であるが全く一致し黒線となっている）を示す。なお、x=0でy=0,y'=1となります。

回答No.2

alice_44

おかしな技巧を使わず、合成関数の微分で普通に計算する。
dy/dx = (x^x) x^(x^x - 1) + (x^x^x)(log x) { x x^(x - 1) + (x^x)(log x) }
　　　= (x^x)(x^x^x){ (1/x) + (log x) + (log x)^2 }.

上の式を見て、ピンと来なかった場合は、
y = p^q, q = r^s, p = r = s = x としてみれば、解る。

dy/dx = (∂y/∂p) (dp/dx) + (∂y/∂q) (dq/dx),
∂y/∂p = q p^(q-1),
dp/dx = 1,
∂y/∂q = (p^q) (log p),
dq/dx = (∂q/∂r) (dr/dx) + (∂q/∂s) (ds/dx),
∂q/∂r = s r^(s-1),
dr/dx = 1,
∂q/∂s = (r^s) (log r),
ds/dx = 1.
から、要らないものを順次消去すればよい。

暗算で最初の式を出せば、済むことだけれど。