微分

質問

微分の問題です

次の関数の増減を調べ、極地を求めよ。
また、そのグラフを書け。
y=-x^4-4x^3+16x+16

私はこれを微分して
y=-4x^3-12x^2+16
にするまでしか分かりません

教えて下さい！！

回答No.3

sanori

Ｎｏ．１の回答者です。

すみません。
ご質問文にある式を読み間違いしていました。
ｘ^4　の前にマイナス符号がついているのを見落としていました。

ですから、微分は、
ｙ’＝　４ｘ^3　－　１２ｘ^2　＋　１６
ではなく、
ｙ’＝　－４ｘ^3　－　１２ｘ^2　＋　１６
ですね。

－ｙ’／４　＝　ｘ^3　＋　３ｘ^2　－　４

ここで、
ｘ＝１　を代入してみると、
１^3　＋　３　－　４　＝　０
よって、　－ｙ’／４　は、（ｘ－１）で割り切れます。（因数定理）

－ｙ’／４　＝　（ｘ－１）（ｘ^2　＋　４ｘ　＋　４）
　＝　（ｘ－１）（ｘ＋２）^2

ｙ’　＝　－４（ｘ－１）（ｘ＋２）^2

グラフは、
・はるか左下から右上に上ってきて、
・ｘ＝－２　に近づくと、傾きがなだらかになり、
・ｘ＝－２　のところで一瞬水平になり
・再び、右上に上っていき、
・ｘ＝１　のところで極大となり、
・そこから、はるか右下のほうへ去っていく
というふうになります。

ｘ＝－２　は二重解ですから、ｘ＝－２　の箇所は、極大にも極小にもなりません。一瞬水平になるだけです。
極値を取るのは、ｘ＝１　のときだけです。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

詳しくありがとうございます！！
自分でまとめてみます！
参考になりました！！！

回答No.2

21s-a

私も解いてみました。他の方とは答えが少し違うのですが・・・。
どちらを参考にするかは質問者様におまかせ致します。

y＝-x^4-4x^3+16x+16・・・(1)
y'＝-4x^3-12x^2+16・・・(2)

ここで(2)の式に〈因数定理を適用〉
x＝１を代入すると　-4-12+16＝0なので
(2)式の解の一つがx＝１であることがわかります。
次に解の一つがx＝１なので(2)式を(x-1)で割ると他の解が見えてきます。
計算すると (x-1)(-4x^2-16x-16)となります。
つまり -4(x^2+8x+8)(x-1) → -4(x+2)^2(x-1)
よって解はx＝-2,1(-2は重解）となります。
言い換えればx＝-2,1の時にグラフの傾きは０になる（つまり極値をとる）
次は先ほど導き出した値をそれぞれ(1)式に代入し、その時のyの値を計算します。
するとx＝1のときy＝27 , x＝-2のときy＝4をとります。
よって極大値はx＝１のときy＝27 極小値はx＝-2のときｙ＝4です。

グラフの形は左上から右肩下がりで点(-2,4)を境に右上へ。
点(1,27)で再び右肩下がりになり範囲が限定されないかぎりそのまま下がり続けます。

読みづらいかもしれませんがその辺りはご了承ください。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞極地を求めよ。

寒そうですね。（笑）

ｙ’＝　４ｘ^3　－　１２ｘ^2　＋　１６
　＝　４（ｘ^3　－　３ｘ^2　＋　４）

ためしに、ｘ＝－１　を入れてみると、
（－１）^3　－　３×（－１）^2　＋　４
　＝　－１　－　３　＋　４
　＝　０

ということは、
ｙ’／４　＝　ｘ^3　－　３ｘ^2　＋　４
は、（ｘ＋１）で割り切れる。（因数定理）

（ｘ^3　－　３ｘ^2　＋　４）　÷　（ｘ＋１）
　＝　（ｘ＋１）（ｘ^2－４ｘ＋４）
　＝　（ｘ＋１）（ｘ－２）^2

というわけで、
ｙ’＝　４（ｘ＋１）（ｘ－２）^2
となります。

グラフは、
・はるか左上から右下にやってきて、
・ｘ＝－１　のところで極小値を取り、
・そこから右上に上がっていき、
・ｘ＝２　のところで、一瞬水平になり、
・はるか右上に向かって去っていく
というものになります。

ご参考に。