グラフの凹凸の問題です

質問

グラフの凹凸についての問題です。

関数 y=(x^2 + ax +3)e^x のグラフが常に下にとつでありように定数aを求めよ。

これは微分を２回行って増減表を作り、
その増減表が下に凸であるようにすればいいのでしょうか？

しかしyの式を微分しても変な式になって詰まってしまいました。

教えてくださいお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

一回微分して、

y' = 2ax(x^2 + ax +3)e^x
となりました。
>ここからy' = 0としてどうやってxを出せばいいかわからなくなりました。

微分した結果の式が違ってるので、微分の公式を確認した方がいいと思います。
ｙ'＝（ｘ^2＋ａｘ＋３）'（ｅ^x）＋(x^2 + ax +3)（ｅ^x）'　になるので、
　　＝（２ｘ＋ａ）ｅ^x＋(x^2 + ax +3)ｅ^x
　　＝（ｘ^2＋（ａ＋２）ｘ＋ａ＋３）ｅ^x
これをもう１回微分して、ｙ''＞０についてを考えるのだと思いますが、
この条件だけだとａの値ではなく、ａの値の範囲しか出て来ないと思います。

もう１回微分して、ｙ''＞０とすると、
ｙ''＝（ｘの二次式）ｅ^x＞０より、
ｅ^x＞０だから、（ｘの二次式）＞０であればよいので、、
ｘの二次式について、判別式Ｄ＞０とすれば、それからａの値の範囲が求められると思います。

回答No.4

ferien

No.3さん　ありがとうございます。

＞ｘの二次式について、判別式Ｄ＞０とすれば

判別式Ｄ＜０です。訂正します。

よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion

＞ｅ^x＞０だから、（ｘの二次式）＞０であればよいので、、

これはよいとして、

＞ｘの二次式について、判別式Ｄ＞０とすれば

これはまずいのではないでしょうか。
xの2次式の値が常に正である、ということは、y軸との交点や接点がない、ということですよね。
判別式の符号が間違っているのではないでしょうか。

回答No.1

asuncion

＞yの式を微分しても変な式になって

どんな結果を得たのでしょうか。

補足

一回微分して、

y' = 2ax(x^2 + ax +3)e^x
となりました。
ここからy' = 0としてどうやってxを出せばいいかわからなくなりました。