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グラフの凹凸とy'とy''
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こんにちは。 y’=0 は、増える⇒減り始める あるいは、 減る⇒増え始める の境目です。 この境目では、yは極小値か極大値を取ります。 y’’=0 は、上に凸⇒下に凸 あるいは、 下に凸⇒上に凸 の境目です。 この境目は「変曲点」と呼ばれます。 ただし、y’=0 のポイントと y’’=0 のポイントが一致すると、上記のようにならなくなる場合があります。 たとえば、y=x^3 は、y’=0 も y’’=0 も x=0 のポイントになり、 増える⇒減り始める のポイントにも 減る⇒増え始める にもなりません。 x<0 では、「増える」「上に凸」、 x=0 では、一瞬、増えも減りもしない、 x>0 では、「増える」「下に凸」 となり、一度も「減る」にはなりません。 >>>最大値や最小値をもとめる際にはy''は求めなくてもいいですよね。 (最大値、最小値ではなく、極大値、極小値だと思うのですが) 上に書いた y=x^3 のグラフでは、y’=0 で極大値にも極小値にもなりませんよね? なぜならば、減ることが一度もないのですから。 y’=0 と y’’=0 のポイントが一致すると「怪しい」です。 そういう意味では、y=x^4 も同様に「怪しい」のですが、こちらは、増減の仕方と変曲点が、y=x^2 とまったく同じになります。 y’’ を求めることは、「怪しい」かどうかをひとまず一次判定することには役立ちます。
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- hiccup
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>> y=f(x)のグラフの凹凸を調べるのに必要なのはy''だけですか? そうです。 y' から y の「増えつつある」「減りつつある」が判断できるなら、 y'' から y' の「増えつつある」「減りつつある」が判断できるわけです。 グラフでいえば、y' が増えつつあるとは傾きが大きくなりつつあること、すなわち接線が反時計回りに変化することを意味し、そこから下に凸だとわかります。 逆に y' が減りつつあるとは傾きが小さくなりつつあること、すなわち接線が時計回りに変化することを意味し、そこから上に凸だとわかります。 少し進んだところから述べると、 y=f(x) が x=p のとき y=q になるとします。つまり q=f(p) 、グラフでいえば点 (p,q) を通るとします。 さらに f''(p)=2a 、f'(p)=b としておきます。 すると、x=p のとき y=q になるような高々2次の関数のうち、x=p の付近で y=f(x) にもっとも近いものが y=a(x-p)^2 + b(x-p) + q なのです。グラフにかくと、点 (p,q) に近づけば近づくほど両者は見分けがつかなくなります。a<0, a=0, a>0(f''(p)=2a としていた)に応じてこのグラフのカーブの様子(上に凸かまっすぐか下に凸か)がわかるので、y=f(x) のグラフが x=p の付近でどのようにカーブしているかが判断できるわけです。 もしもあなたがグラフをかくソフトを持っているなら、具体的な y=f(x) と y=(f''(p)/2)(x-p)^2 +f'(p)(x-p)+f(p) (pの値をいろいろ変えてみる)のグラフをかいてみると、それを実感できるでしょう。 ちなみに、x=p のとき y=q になるような一次関数のうち、x=p の付近で y=f(x) にもっともそっくりなものは言わずもがな y=b(x-p) + q です。 >> 最大値や最小値をもとめる際にはy''は求めなくてもいいですよね。 単に最大値や最小値を求めるだけなら y'' まで求める必要はないでしょうね。
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