3次のグラフの凹凸について

質問

グラフの最小値を求める問題で
f(x)=x^2-4log(x^2+2x+2)の最小値を求めろ
とありました。
ここで、微分をして
f'(x)={2(x+2)(x^2+2)}/{(x^2+2x+2)}
となったのですがここで質問です。
超簡単な解釈で、三次関数のグラフは最高次数が負でなければ
上に凸⇒下に凸⇒上昇していく
とざっくばらんに考えていました。
なので最高次数が負なら
下に凸、⇒上に凸⇒減少していく

という考えの中で、上に凸、下に凸という風に考えたら
増減表の±が逆になっていました。

どうして、f'(x)={2(x+2)(x^2+2)}/{(x^2+2x+2)}が
下がって上がって下がってさらに上がるという曲線になるのか教えてください。

質問の仕方が非常に幼稚な言葉ですみませんが、ぱっと式を見てぱっと線を想像することが大事というプロセスが破綻しているので困っています。
ご指導よろしくお願いいたします。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

> f'(x)の符号が負、正、負、正のように変わる理由が
> 分子の方は=0になるのはx=-2,-√2,√2のとき、
> という理屈がわかりません。

もちろん端折って書いていますから、それだけでは理由にはなりません。
> 分母は必ず正だから、f'(x)全体の符号は分子の符号と一致します。
> ここで、分子はxに関する3次式で、x^3の符号は正です。
ということも前提としています。
分子の3次式が重解を持たないのだから、=0になるところを求めれば必ずその前後で式の符号が変わります。つまり
負、正、負、正のように変わる
正、負、正、負のように変わる
のどちらかですが、x^3の係数が正なのだから最後は正になるのです。したがって
負、正、負、正のように変わる
が正しいことがわかります。

お礼

分母は定義上ゼロにしてはいけない。
という大前提で分子を見てみる
⇒
f'(x)=0の値を出す
⇒
三次より、最大次数がのx^3が正より最後は正になる。

ご指導の通りステップを踏んで三回ほど計算しました。
お陰様でここの問題は無事とくことができました。
ありがとうございました。

回答No.3

asuncion

もしや、と思い、Wolframに食わせてみました。
そうすると、確かに減少、増加、減少、増加となりますね。
大変失礼いたしました。ただ、

f'(x)の符号が負、正、負、正のように変わる理由が
分子の方は=0になるのはx=-2,-√2,√2のとき、
という理屈がわかりません。

という疑問は残ったままです。自分の知識量が少ないせいで。

お礼

わざわざお調べ下さりありがとうございました。

回答No.2

asuncion

＞=2(x+2)(x^2-2)/(x^2+2x+2)
＞です。ここで分母は必ず正です。分子の方は=0になるのはx=-2,-√2,√2のときです
＞から、f'(x)は負、正、負、正と符号が変わります。
＞従って元の関数f(x)は減少、増加、減少、増加のように動きます。
f'(x)の符号が負、正、負、正のように変わる理由が
分子の方は=0になるのはx=-2,-√2,√2のとき、
という理屈がわかりません。

分母は必ず正だから、f'(x)全体の符号は分子の符号と一致します。
ここで、分子はxに関する3次式で、x^3の符号は正です。
よって、元の関数f(x)は増加、減少、増加になるのではないでしょうか。

お礼

順を追って大変丁寧なご説明をしてくださりありがとうございました。
お陰様で無事解けました。

回答No.1

f272

f(x)=x^2-4log(x^2+2x+2)
を微分しても
f'(x)={2(x+2)(x^2+2)}/{(x^2+2x+2)}
にはなりません。
f'(x)=2x-8(x+1)/(x^2+2x+2)
=2(x^3+2x^2-2x-4)/(x^2+2x+2)
=2(x+2)(x^2-2)/(x^2+2x+2)
です。ここで分母は必ず正です。分子の方は=0になるのはx=-2,-√2,√2のときですから、f'(x)は負、正、負、正と符号が変わります。
従って元の関数f(x)は減少、増加、減少、増加のように動きます。最小になる可能性があるのはx=-2またはx=√2のときですね。

お礼

いつも丁寧なご指導ありがとうございます。
この度はお礼を申し上げるのが遅くなり失礼いたしました。
また、間違えのご指摘もありがとうございます。