x/(a^2+x^2)の積分について

質問

x/(a^2+x^2)の積分について

t=a^2+x^2とおいて
dt=2xdx
よって
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C
と置換積分により積分することが出来ますが、
部分積分では計算できないのでしょうか？

(a^2+x^2)'=2x
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx
として計算できると思ったのですが、うまく行きません。
どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

回答No.3

Knotopolog

＃２です．

言葉足らずで意味のない記述になってしまっているようですので，
補足します．言いたかったのは，

∫(x/(a^2＋x^2))dx＝(1/2)*∫[(1/(a^2＋x^2))*(a^2＋x^2)']dx

は，

∫(x/(a^2＋x^2))dx＝(1/2)*∫[(1/(a^2＋x^2))*{d(a^2＋x^2)/dx}]dx

であり，

∫(x/(a^2＋x^2))dx＝(1/2)*∫[(1/(a^2＋x^2))*d(a^2＋x^2)]

と書けるので，結局，

∫(x/(a^2＋x^2))dx＝(1/2)log(a^2＋x^2)＋Ｃ

となる，と言うつもりでした．

一方，部分積分法では，∫[(1/(a^2＋x^2))*(a^2＋x^2)']dx　が

∫[(1/(a^2＋x^2))*(a^2＋x^2)']dx ＝

＝(1/(a^2＋x^2))*∫[(a^2＋x^2)']dx
－∫[{d(1/(a^2＋x^2))/dx}*(a^2＋x^2)]dx ＝

＝(1/(a^2＋x^2))*(a^2＋x^2)
－∫[{d(1/(a^2＋x^2))/dx}*(a^2＋x^2)]dx ＝

＝1－∫[{－(2x/(a^2＋x^2)^2)}*(a^2＋x^2)]dx ＝

＝1＋2∫[x/(a^2＋x^2)]dx

なので，

(1/2)*∫[(1/(a^2＋x^2))*(a^2＋x^2)']dx ＝
＝(1/2)＋∫[x/(a^2＋x^2)]dx

となりますから，

∫(x/(a^2＋x^2))dx＝(1/2)＋∫[x/(a^2＋x^2)]dx＋Ｃ

0＝(1/2)＋Ｃ

というような事になってしまい，積分が得られません．
したがって，部分積分法を使うには適さない問題という事になります．

お礼

お返事、ありがとうございます！
最初に頂いたご回答と、その補足はまさに置換積分による解法ですね。
ありがとうございます。

部分積分についてですが、私も同じ結果になってしまい、積分が得られませんでした。

部分積分は
∫f(x)g(x)'dx=f(x)g(x)-∫f(x)'g(x)dx
と書けますが、
問題の積分を上式の形に持って行くことができたのに、
何故積分結果が得られなかったのかが不思議です。
おそらく、
「部分積分の形にすることができれば
必ず求めたい積分が得られる！」
という勝手な思い込みが自分にあったためかと思うのですが…
部分積分法といっても、得たい結果に必ず到達できるわけではないのですね。