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数学の級数に関する質問です。
Ae610の回答
- Ae610
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フーリエ級数を利用して を使って解く方法があるみたい・・・! ---f(x)が2πを周期とする連続且つ区分的に滑らかな関数とするとき、f(x)のフーリエ係数an,bnに対し、Σ[n=1~∞](|an|+|bn|)が収束するならば、f(x)から作った形式的フーリエ級数は収束して、和が f(x)に等しい--- ・・・と言う定理を使う。 f(x)=|x| (-π≦x≦π)という関数を考える。 この関数は区分的に滑らかな連続関数で、偶関数だから bn=0 a0 = 2/π・∫[0,π]xdx =π an = 2/π・∫[0,π]xcosnxdx = 2/π{xsin(nx)/n + cos(nx)/n^2} = 0 (n=偶数) = -4/(n^2π) (n=奇数) Σ[n=1~∞]1/n^2 は収束するので上記定理が使える。 よって -π≦x≦πで |x| = π/2-4/πΣ[n=0~∞]{cos(2n+1)x/(2n+1)^2} この関数は連続なのでx=0と置いても良い。 よって Σ[n=0~∞]{1/(2n+1)^2} = π^2/8 また、Σ[n=1~∞]1/n^2 = SとすればSは絶対収束するから奇数番項と偶数番項とに分けられる。 S - S/4 = Σ[n=0~∞]{1/(2n+1)^2} = π^2/8 ∴S = Σ[n=0~∞]{1/n^2} =π^2/6 この他にもz/(e^z-1)を利用して各項で現れるベルヌーイ数と比較することで求めるやり方があるみたいだが、ちと面倒くさい。 (こちらの方法ではΣ[n=1~∞]1/n^2k (k=1,2,・・・)の和が一遍に求められるようである!!)
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