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数列(級数)の問題
級数とは本質的には関係ないことですが教えてください。 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4・・・・この部分和S_2nを求めよ。という問題ですが、S_2n-1=1なので、S_2n=1-1/(n+1)と書いてあり最初は納得しましたが、考え直してみると「なぜ(2n+1)ではなく、(n+1)なのか。」と思ってしまいました。理由を教えてください。 よろしくお願いします。
- dandy_lion
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具体的に書き出してみましょう. 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 -1/4 + 1/4 - ・・・ に対して, n=1 のときは,S_2n = S_2*1 = S_2 = 1 - 1/2 n=2 のときは,S_2n = S_2*2 = S_4 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 n=3 のときは,S_2n = S_2*3 = S_6 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 n=4 のときは,S_2n = S_2*4 = S_8 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 n=5 のときは,S_2n = S_2*5 = S_10 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 ・・・ つまり, n=1 のときは,S_2n = 1 - 1/2 n=2 のときは,S_2n = 1 - 1/3 n=3 のときは,S_2n = 1 - 1/4 n=4 のときは,S_2n = 1 - 1/5 n=5 のときは,S_2n = 1 - 1/6 ・・・ というように,確かに右辺は 1-1/(n+1) となっていますね! これは,感覚的に言うと, 左辺 S_2n の 2n は,確かに「2つ跳び」で増えていくが, 右辺の 1/(n+1) の所も,元の級数の上では±の2つずつ現れているので「2つ跳びの並び方」になっている! だから,うまく合う! という感じ. どうでしょう?
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- inara
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この数列は1から始まっているので、数列の第1項目を1とすることは異論ないですね?そして、部分和に出てくる n は、n = 1から数え始めることにしているということは分かりますね? そうすると、n = 1,2,..と増えていくとき、2n-1 = 1,3,5,..なので、S_2n-1 = 1 となっているのは分かりますね(実際、1項目から奇数項までの和は必ず 1 になっています)。 S_2n-1 は奇数項までの和しか表していないので、間の偶数項までの和はどうなるのか気になります。それを計算するには、2n-1項までの和の次の項(偶数番目の項)を加ればいいわけです。S_2n-1の次の項というのは、n = 1のときは第2項目の-1/2、n = 2のときは第4項目の-1/3 となっているから、S_2n-1の次の項は必ず -1/(n+1) になっています。 これを一般的に書くと、2n-1項の次の項というのは、2n-1に1を足した2nです。ですから、S_2n = S_2n-1 -1/(n+1) となります。とろこが、S_2n-1 というのは、n が何であっても 1 でしたから、S_2n = 1 -1/(n+1) となるわけです。
- fool_ish
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数列 {a_n} を, {a_n} = 1, -1/2, 1/2, -1/3, ... とする.この数列の部分和 S_n,すなわち S_n = Σ[k=1, n] a_k を求めたい. nが奇数のときの S_n,すなわち S_{2n-1}(n=1, 2, ...)が1に等しいのは明らかだ. (明らかに思えない場合は,S_1, S_3, S_5 などを実際に書き出して計算してみよ.) nが偶数のときの S_n,すなわちS_{2n}(n=1, 2, ...)を求めたい. 奇数のときのように簡単には求められないが, S_{2n-1} = 1 であり, S_{2n} = S_{2n-1} + a_{2n} = 1 + a_{2n} であるから,a_{2n} を n で表しさえすれば,S_{2n} も n で表せる. ここで数列 {a_n} を見返すと, {a_n} = 1, -1/2, 1/2, -1/3, ... の偶数番目の項 a_{2n} は, a_{2n} = -1/(n+1) と表せる.したがって, S_{2n} = 1 + a_{2n} = 1 - 1/(n+1) である. a_{2n} が -1/(n+1) であることは,以下のようにして分かる: n を1から増やしてゆき,a_{2n} を書き出すと n=1, a_{2*1} = -1/2 n=2, a_{2*2} = -1/3 n=3, a_{2*3} = -1/4 となって,n = 1, 2, 3, ... のとき,a_{2n} の分母は2, 3, 4, ... と,n+1 となっている. 追記: #2への補足に,「厳密なことではなく,感覚的というか直感的のもののほうがわかりやすい」とあるが, 直観的に正しく理解することは,式を追って理解することより難しい. 「感覚的には分かるが,理詰めでは分からない」というのは,じつは初めの感覚的な理解が曖昧なだけだ. まずは,理詰めできちんと理解すること.
- y_akkie
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まず、S_2nの分母の分母の部分をA_2nとおきます。 すなわち、S_2n = 1 - 1/A_2nとします。 すると、 A_2 = 2 A_4 = 3 A_6 = 4 A_8 = 5 となる事から、A_2nは交差1の等差数列である事が分かります。 ここで、分かりやすくするために、B_n = A_2nとおくと、B_1 = 2, B_2 = 3,B_3 = 4 , B_4 = 5となりますので、B_n = n + 1である事は分かりますよね。 そして、左辺をA_2nに置き換えると、A_2n = n + 1になる事が分かります。 この事から、 S_2n = 1 - 1 / A_2n = 1 - 1 / (n + 1)になる事が分かります。
- kkkk2222
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A_n=A(n)と表記します この問題では極限値は求めさせていませんが S(2n-1)=1 S(2n)=1-(1/(n+1)) lim[n→∞]S(2n-1)=1 lim[n→∞]S(2n)=1 よりlim[n→∞]S(n)=1 とするのが常套手段です 話がずれました、SMARTではありませんが、書き出して見ます P(1)=S(1)=1 S(2)=1-(1/2)=Q(1) P(2)=S(3)=1 S(4)=1-(1/3)=Q(2) P(3)=S(5)=1 S(6)=1-(1/4)=Q(3) P(3)=S(7)=1 S(8)=1-(1/5)=Q(4) : : : P(n)=S(2n-1)=1 S(2n)=1-(1/(n+1))=Q(n) さて 2n+1 と思った原因はもうわかったと思います・・・Q(n)から判断 この様に新しい数列はP(n)とかQ(n)と置きなおすと、安心感が・・・ あれ、これ最近同じ事書いたな。 *これで十分かどうかは わかりません *S(n)がnの式で表せるかどうかは、今から考えます
補足
すみません。まったくわかりません。厳密なことではなく、感覚的というか直感的のもののほうが数学が苦手な僕にはわかりやすいかもしれません。。。。 no1のかたのa_2nもわかりません。 助けてください。
- tatsumi01
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S_2n = 1-a_2n であることは分かりますね。では a_2n はどうなるでしょうか。
お礼
ありがとうございました。
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