根号の計算についてです

質問

根号の計算についてです

√a+b = √3+5 について

a=3 b=5とできるのでしょうか。

すみませんがよろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

おや、後から問題が変わった。

-a+√(a^2-ab) = 5-√3 の場合も、a, b が有理数という条件がついていれば、
c = a^2-ab と置くと、c, a が有理数なので、
(√c)-a = -(√3)+5 を No.2 と同様に変形して、a = -5 でないといけません。

しかし、a = -5 をもとの式へ代入すると、√(25+5b) = -√3 となって、
左辺 ≧ 0 ＞ 右辺 より、解がありません。

もし、問題が -a+√(a^2-ab) = 5+√3 であったなら、
No.2 と同様に a = -5, a^2-ab = 3 を求めて、b = -22/5 を得ることができます。
その場合、有理数解は、整数解になりません。

回答No.2

alice_44

(√a)+b = (√3)+5 という意味ですよね？

a, b が有理数に限られているなら、
そうできます。

移項して、(√a)-√3 = 5-b.
両辺を二乗して、a+3-2√(3a) = (5-b)~2.
また移項して、√(3a) =｛ a+3-(5-b)~2 ｝/2.
右辺が有理数なので、a は 3×有理数の二乗
でなければなりません。
a = 3r~2 と置きます。
もとの式へ代入して、(r-1)√3 = 5-b.
√3 が無理数であることから、
この式が成り立つのは 左辺 = 右辺 = 0
の場合だけ。すなわち、a = 3, b = 5 です。

無理数でもよければ、
a = 25, b = √3 のような解があります。

お礼

とても分かりやすい説明をありがとうございます。

(√a)+b = (√3)+5 という意味です。

問題は、-a+√(a^2-ab) = 5-√3なのですが
この段階でa=-5とするのは、√(a^2-ab)が有理数かもしれないので
できないのかな？と悩んでいました。

質問の仕方が悪かったことが申し訳ありませんということと、
もしよかったらa=-5としてよいかどうか教えてくださいm(_ _)m

回答No.1

hashioogi

a、bは整数という制限が付いているのかな ?

補足

コメントありがとうございます。

a,bは有理数という条件がついていました。
説明不足で申し訳ありません。