二重根号の外し方について

質問

今晩は。

二重根号の外し方で分からないところがあったので質問させてください。
括弧を沢山使い、大変見にくいです。御免なさい。

問い：
a≧1の時、次の式を簡単にせよ
√(a+8+6√(a-1)) - √(a+8-6√(a-1))

どちらの6√も2√にするらしいことは分かるのですが、手がかりが全く掴めま
せん・・・

もしかしてと思い、次のような変形をしたりしたのですが、どうも上手く行きません。
√(a+8+2√((3^2)(a-1))) - √(a+8-2√((3^2)(a-1)))
(根号の中の6を2と3に分け、3の方を二重根号の中に二乗にして入れた)

宜敷御願い致します。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞P(a)=√(a+8+6√(a-1))-√(a+8-6√(a-1))

P(a)=√(a+8+2√9(a-1))-√(a+8-2√9(a-1))

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　　判り難い時はaに数値を入れて試してから、
　　文字aで考える良いと思います。

a=4 とすれば、多分出来ると思います。

P(4)=√(12+2√27)-√(12-2√27)
　　　=(√9+√3)-(√9-√3)=2√3
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

　　足して、a+8
　　掛けて、9(a-1)　となる、
　　２数を見つければＯＫとなります。

　　２数は、9と(a-1)となります。

√(a+8+2√9(a-1))=√(a-1)+√9 ですが、

√(a+8-2√9(a-1))　は
　　　　√(a-1)と√9 大小が不明で、
　　　　場合わけが必要になります。
　　　　a≧10 のとき、√(a-1)-√9
　　　　1≦a＜10 のとき、√9-√(a-1) となります。

結果は、

（１）　a≧10 のとき、
　　P(a)=(√(a-1)+√9)-(√(a-1)-√9)=6

（２）　 1≦a＜10 のとき、
　　P(a)=(√(a-1)+√9)-(√9-√(a-1))=2√(a-1)

お礼

何故場合分けが必要になるのか分からなかったのですが、
与式が√((√x+√9)^2) - √((√x-√9)^2)になった時点で
√(A^2) = |A|であることに思い至り、|(√(a-1))+3| - |(√(a-1))-3|という
絶対値の式になることが分かって一気に解けました。有難う御座いました。

回答No.3

島崎 崇（@tadopika）

与式の二乗を計算しても解くことができます。

与式をXとおくと、
X=√(a+8+6√(a-1)) - √(a+8-6√(a-1)).
X^2={a+8+6√(a-1)}+{a+8-6√(a-1)}-2√{(a+8)^2-36(a-1)}
=2a+16-2√{(a-10)^2}.
(i) a≧10 のとき
X^2=2a+16-2(a-10)
=36.
(ii) 1≦a<10 のとき
X^2=2a+16-2(10-a)
=4(a-1).

ここで、a≧10のとき X=±6, 1≦a<10 のとき X=±2√(a-1), としてしまわないように気をつけてください。何故なら、X≧0 だからです。このことは、例えば次のようにして分かります。

Y=√(a+8+6√(a-1)) + √(a+8-6√(a-1)) とおくと、
XY={a+8+6√(a-1)}-{a+8-6√(a-1)}
=12√(a-1)≧0.
Y>0 だから、X≧0.
よって、a≧10のとき X=6, 1≦a<10 のとき X=2√(a-1).

お礼

どう解けばよいのか分からず、試行錯誤している時に、苦し紛れに二乗にして
みてはどうかと思い至り途中までは試してみたのですが、式が長くなってしま
って、結局自分が今何をやっているのか分からなくなりそうな予感がした為、
途中で諦めて別の解法を探したという経緯があります。こういう解法もやっぱ
りあったのだと知ることが出来て嬉しいです。有難う御座いました。

回答No.2

debut

√{(x+y)+2√(x*y)}=√x+√yですよね。
だから、もしかして・・・の変形はＯＫです。

a+8は(a-1)+9とみれば、
√(a+8+2√((3^2)(a-1)))
=√{9+(a-1)+2√(9*(a-1))}
=√9+√(a-1)
となります。
ただし、後半のマイナスの方は、a=10を境にして
√9-√(a-1)とか√(a-1)-√9とかになるので
場合分けが必要です。

お礼

良いところまで来てたのですね。
これからはこうして訊く前にもう少し頑張ってみます。
有難う御座いました。

回答No.1

abyss-sym

a-1=x とおきます。
√(a+8+6√(a-1)) - √(a+8-6√(a-1))
=√(x+6√x+9) - √(a-6√x+9)
=√(√x+3)^2-√(√x-3)^2
と変形すれば、答えはすぐ出ると思います。

お礼

有難う御座いました。