行列の左線形従属と右線形従属
- 行列Aが右線形従属であるとは、Aの列ベクトルが線形従属であることを意味します。
- 行列Aが左線形従属であるとは、Aの行ベクトルが線形従属であることを意味します。
- 行列Aの列ベクトルが線形従属であることと、行列Aの行ベクトルが線形従属であることは同値です。
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体について
体について Kを非可換体、A=[a_(ij)]をK係数のn次正方行列とする。1≦i≦nとなるiに対して、Aの第i列ベクトルをa_i、第i行ベクトルをa'_iとする。a_1,…,a_nが右線形従属である。 ⇔a'_1,…,a'_nが左線形従属である。 これを示したいのですが、行き詰っています。 （証明） a_1,…,a_nが右線形従属より、 ∃λ1,…,λn∈K s.t.(λ1,…,λn)≠(0,…,0),a_1λ1+…+a_nλn=0 すなわち、 ∃λ1,…,λn∈K s.t.(λ1,…,λn)≠(0,…,0), a_11λ1+…+a_1nλn=0 a_21λ1+…+a_2nλn=0 … a_n1λ1+…+a_nnλn=0 すなわち、 ∃λ1,…,λn∈K s.t.(λ1,…,λn)≠(0,…,0),a'_1λ1+…+a'_nλn=0 よって、 a_1,…,a_nは左線形従属である。 このようなながれで示そうとおもったのですが… 見てお分かりになるように ＞すなわち、 ∃λ1,…,λn∈K s.t.(λ1,…,λn)≠(0,…,0),a'_1λ1+…+a'_nλn=0 これが言えていないので、左線形従属であることが言えないのです。 この証明は全く違っているのでしょうか?? ご指導よろしくお願いします。
- gsb57529
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>何に注目して証明すればよいのか教えてください!! 自明でない部分はどこであるか、に注目して下さい。
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- koko_u_u
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>Kを非可換体、A=[a_(ij)]をK係数のn次正方行列とする。 > >これですか?? いいえ。 それらは仮定なので自明です。
補足
＞Kを非可換体、A=[a_(ij)]をK係数のn次正方行列とする。1≦i≦nとなるiに対して、Aの第i列ベクトルをa_i、第i行ベクトルをa'_iとする。 ↑は、仮定なので、自明でしょうか…。 ＞a_1,…,a_nが右線形従属である。⇔a'_1,…,a'_nが左線形従属である。 そして、⇒を示すときは、「a_1,…,a_nが右線形従属である。」は自明で、「a'_1,…,a'_nが左線形従属である。」が自明でなく、逆を示すときは、「a'_1,…,a'_nが左線形従属である。」が自明で、「a_1,…,a_nが右線形従属である。」が自明でなくなると思います。
- koko_u_u
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>この証明はダメなのでしょうか?? ダメです。「証明」中に 『これと上の右線形従属であることの同値関係は証明されています』 との言及がありますが、それこそが証明に必要なものではないのですか？ それ以外に長々と ⇔ で繋がれている式は単純に定義や表記方法を書き直しているだけではないですか？
補足
いろいろ考えてみたのですが、時間だけが過ぎていきよくわかりません。 a_1,…,a_nは右線形従属より、 (λ1,…,λn)≠(0,…,0)に対して、 a_11λ1+a_12λ2+…+a_1nλn=0 …(1) a_21λ1+a_22λ2+…+a_2nλn=0 …(2) … a_n1λ1+a_n2λ3+…+a_nnλn=0 …(n) となるような、λ1,…,λn∈Kが存在する。 …といったことは証明する際、考えない方がよいのでしょうか?? 何に注目して証明すればよいのか教えてください!! よろしくお願いします。
- koko_u_u
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>今度は大丈夫でしょうか?? 自分で何も証明していないことに気付いていますか？
補足
自分で何も証明していないとは、どういうことですか?? 確かに証明は同値であることしか使ってませんが、この証明はダメなのでしょうか??
- koko_u_u
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>これが言えていないので、左線形従属であることが言えないのです。 「左」線形従属 であることを言いたいんですよね？ >この証明は全く違っているのでしょうか?? その通りです。
補足
回答ありがとうございました。 別の証明を考えてみました!! （証明） a_1,a_2,…,a_nが右線形従属 ⇔[a_11;a_21;…;a_n1],…,[a_1n;a_2n;…;a_nn]が共線 (これと上の右線形従属であることの同値関係は証明されています) ⇔l1a_11+l2a_21+…+lna_n1=0 l1a_12+l2a_22+…+lna_n2=0 … l1a_1n+l2a_2n+…+lna_nn=0 ⇔l1a'_1+l2a'_2+…+lna'_n=0 ⇔∃l1,…,ln∈K s.t.(l1,…,ln)≠(0,…,0),l1a'_1+l2a'_2+…+lna'_n=0 ⇔a'_1,…,a'_nは左線形従属 （証明終わり） 今度は大丈夫でしょうか?? ご指導よろしくお願いします。
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