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線形従属ならば|A|=0であることを証明したいのですが・・・。
ｎ次正方行列 A=a_11 a_12 ・・・ a_1n a_21 a_22 ・・・ a_2n ・ ・ ・・・ ・ ・ ・ ・・・ ・ ・ ・ ・・・ ・ a_n1 a_n2 ・・・ a_nn についてAを構成するｎ個の列ベクトル x_1=a_11 x_2=a_12 ,,,, x_n=a_1n a_21 a_22 a_2n ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ a_n1 a_n2 a_nn が線形従属ならば|A|=0であることを証明せよ。 ---- 何をどうしたらいいのか、全く手がでません。 ヒントでかまわないです。 どなたかお分かりになる方、ご教授ください。
- math-panic
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math-panicさん、こんにちは。 まず、列ベクトル v(1),v(2),… v(n) を並べた行列 A の行列式、 |A| = |v(1) v(2) v(3) … v(n)| について、ある一つのiについて、ベクトル v(i) が二つのベクトル u, w の和だとすると、 |A| = |v(1) v(2) v(3) … v(i-1) u+w v(i+1) … v(n)| = |v(1) v(2) v(3) … v(i-1) u v(i+1) … v(n)| + |v(1) v(2) v(3) … v(i-1) w v(i+1) … v(n)| …(1) のように、行列式も足し算に分けることができ、またベクトル v(i) があるベクトル u の定数c倍だとすると、 |A| = |v(1) v(2) v(3) … v(i-1) cu v(i+1) … v(n)| = c |v(1) v(2) v(3) … v(i-1) u v(i+1) … v(n)| …(2) のように、定数cを前に出すことができます。 さらにまた、行列式は、同じ列が複数あったり、同じ行が複数あると 0 になってしまいます。これも定義から示すことができます。…(3) この(1)～(3)の性質をもし知らなかったときには、行列式の定義から示せるので考えてみてください。教科書等にも載っていると思います。この回答では示しません。 次にベクトルが線形従属であるとは、あるベクトル x(i) が、他のベクトルの線形結合で書けてしまうということなので、いま、 x(i) = c(1)x(1) + c(2)x(2) + … + c(i-1)x(i-1) + c(i+1)x(i+1) + … + c(n)x(n) = Σ_{j≠i}c(j)x(j) …(4) と書けるとします。（和はj=iを除いて、j=1～nの和をとる。）c(1)～c(n) は定数です。 従って、(4)を |A| = |x(1) x(2) … x(n)| に代入し、(1),(2)を用いると、 |A| = |x(1) x(2) … x(i-1) Σ_{j≠i}c(j)x(j) x(i+1) … x(n) = Σ_{j≠i} c(j) |x(1) x(2) … x(i-1) x(j) x(i+1) … x(n)| ところで、この和の各項は x(j) と他の x(i) のどれかが等しいので、(3)より0になります。従って、|A| = 0 がわかります。
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- joggingman
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xiが xi=λ1*x1+λ2*x2+・・・+λi-1*xi-2+λi+1*xi+1+・・・+λn*xn となるとする。(少なくとも１つのλ≠0) |x1 x2 ・・・xi・・・xn| =ｋ｜x1 x2 ・・・xi-λ1*x1-・・・λi-1*xi-1+λi+1*xi+1-・・・λn*xn ・・・xn| =ｋ｜x1 x2 ・・・ ０ ・・・ xn| =k * |a11 a12 ・・・ ０ ・・・a1n| |a21 a22 ・・・ ０ ・・・a2n| |・・・・・・・・・ ０・・・・・・｜ |an1 an2 ・・・ ０ ・・・ann| =0 という感じになると思います。
お礼
よくわかりました。 ご回答ありがとうございました。
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お礼
大変丁寧な解説、ありがとうございました。