基本近傍系

質問

位相空間論の初学者です。

以下の２点をお願いします。

○１点目
「開基」のイメージとして，｛距離空間における開球｝
なるものを考えて納得しておるつもりですが，
「基本近傍系」のイメージを教えていただけませんでしょうか？

○２点目
新刊の教科書
『数学の基礎　集合・数・位相　基礎数学14　齋藤正彦』
の書評をおねがいします。

以上，なにとぞ、よろしくお願いいたします。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

イメージとなるとなかなか難しいと思うのですが、まあそれゆえ正しい答えがひと通りなわけでもなくて面白いとも思いますが、僕の理解では、開基が開集合全体から余分なものを取り除いていったものという感じですかね。基本的に開基というのは位相を作るために考えるものだから、開集合のパーツであるとも言えるのかも知れません。

他方、基本近傍系ですが、これは近傍全体から余分なものを取りのぞいていった感じでしょうか。とりあえず距離空間とかでよく考えますが、年輪のようなイメージがいちばんしっくりきています、僕の場合は。とりあえず真の近傍系というふうに思っています。すっごくすっごく小さい近傍もやっぱり入っているという。

斎藤先生の本はナナメ読みしかしてないのでなんともいえないのですが、悪くはないと思いました（あまり参考にならなくて申し訳ないですが）。松阪先生の集合位相入門、内田先生の集合と位相、これらもメジャーな教科書ですね。本のレイアウトとかそんな理由で選ぶのもありですよ。どれも悪くないと思いますし。

お礼

ありがとうございます．
参考になりました．

回答No.1

liar_adan

私は、基本近傍系を、ラッキョウかタマネギのイメージで憶えていました。

「間引き」とか「選抜」と思ってもいいでしょう。
つまり「余計な開集合があっても邪魔なばかりだから、
必要な分だけ選んで使おう」という感じ。

おおざっぱですみません。

お礼

ありがとうございます．

「開基からよけいな開集合を取り除くと基本近傍系になる」
という意味でよろしいでしょうか．

距離空間の開集合全体は，
「点xを含む開球B[x,1/n](nは自然数)の全体
と
位相の開集合系の公理」
で定まる．よって，{開球B}は基本近傍系である
という理解でよいでしょうか？