大学数学に関する質問です。（至急）お応え頂けると有難いです。

質問

大学数学に関する質問です。（至急）お応え頂けると有難いです。
大学で数学を専攻されている理学部系統の方、理学部以外でも大学の数学に興味・関心がある方にお答え頂きたい数学の質問があります。分野は「位相空間論」という頭で幾何的イメージ・理解を前提にするものです。（ご存知の方、すみません。） 問題は2つです。
1.(X,d)を位相空間とするとき、Xの任意の連結成分は開集合であることの証明
2. (X,Dx),(Y,Dy)を位相空間とするとき、次の(i),(ii)は同値であることを示して下さい。
(i)直積位相空間(X×Y,d)はコンパクトである。
　(ii)(X,Dx)と(Y,Dy)はコンパクトである。 質問は以上です。
もちろん、自分でもある程度考え、ある程度の方向性は見えてきたのですが、「位相空間論」は問題によっては、定義を示して終了以外の解法もあるので、そういった素晴らしい、エレガントな解法をご存じの方もご協力お願い致します。

回答No.1

koko_u_u

>自分でもある程度考え、ある程度の方向性は見えてきたのですが

じゃあ、それを補足にどうぞ。

>定義を示して終了以外の解法もあるので

言ってる意味がわかりません。

ついでに
>(X,d)を位相空間とするとき

d は「距離」ではなくて、一般の位相を表わしている、ということでよいのかも補足にどうぞ。