生成する開基の証明問題で示す事は?

質問

[補題] Xを位相空間とせよ。CをXの任意の開集合Uで∀x∈Uに対し,∃c∈C;x∈c⊂UとなるようなXの開集合の族とする。この時,CはXの開基となる。

[定義] Bが{(a,b);a,b∈R,a<x<b}ならばBによって生成される位相をstandard topologyという。

[定義] Bが{[a,b);a,b∈R,a<x<b}ならばBによって生成される位相をlower limit topologyという。

[定義] 位相空間Xのある開集合の族Bが次の条件を満たす時,BはXの開基という。
任意の開集合が与えられた時,∀x∈G,∃b∈B;x∈b⊂G.

[定義] BをXの開基とする。T={U∈2^X;∀x∈U,∃b∈B;x∈b⊂U}の時,TはBから生成される位相である。

[問] 上記の補題を使って
(1) 可算族B_Q={(a,b);a,b∈Q,a<b}はR上のstandard topologyを生成する開基である事を証明せよ。
(2) 族L={[a,b);a,b∈Q,a<b}はR上のlower limit topologyを生成する開基である事を証明せよ。

が解けずに困っています。

(1)の証明は,可算族B_QがR上のstandard topologyを生成する開基である事を示せばいいのだからstandard topologyの定義から
{U∈2^R;∀x∈U,∃b∈B_Q;x∈b⊂U}={U∈2^R;∀x∈U,∃b∈B;x∈b⊂U}
(但しB={(a,b);a,b∈R,a<x<b})となる事を示せばいいのでしょうか?

(2)の証明も
{U∈2^R;∀x∈U,∃b∈L;x∈b⊂U}={U∈2^R;∀x∈U,∃b∈B;x∈b⊂U}
(但しB={[a,b);a,b∈R,a<x<b})となる事を示せばいいのでしょうか?

こんがらがってきました。とりあえず何を示せばいいのかお教え下さい。すいません。お願いします。m(_ _)m

回答No.7

ojisan7 · ベストアンサー

>>(1)の証明
>>B_QがRの開基になる事。B_Qによって生成された位相S'が標準位相S
>>と等しくなる事。を示せばいいですね。B_QがRの開基・・・

なんか証明が非常にごちゃごちゃしているので分かりにくいですが、証明の基本的な方向性はだいたいそんな感じでよいと思います。（アバウトないい方ですが・・・）

>>B_QがRの開基になる事は∀U∈T(TはRの位相(開集合の族))に対し,
>>U=(r,s) (r,s∈R∪{±∞})と書ける。

Uは標準位相Sの任意の開集合としたほうがよいですね。そうすると、
∀x∈U,∃(r,s)⊂U　(r,s∈R∪{±∞})となりますね。そのあとは、
質問者さんが書いたような感じでいいと思います。

>>S⊃S'は明らかなのでS⊂S'を示す。

そうですね。S⊃S'は明らかですが、S⊂S'の証明はだめです。この部分の証明がこの問題の核心になっているところです。じっくり考えて下さい。

（２）はsorgenfrey直線に関する位相ですが、証明は（１）と同じように考えればよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。分かってきました。

> そうですね。S⊃S'は明らかですが、S⊂S'の証明はだめです。
> この部分の証明がこの問題の核心になっているところです。じっくり考えて下さい。

S⊂S'を示します。任意のSの元Uをとると任意のUの元xに対しx∈(r,s)なるr,s∈Rが存在する(∵Sの定義)。
この時,r<p<x<q<sなるQの元p,qがとれる。即ち,x∈(p,q)(⊂(r,s))⊂Uとなっている。
従ってU∈S'
よってS=S'となったのでB_QはR上のstandard topologyを生成する開基である。　(終)

> （２）はsorgenfrey直線に関する位相ですが、証明は（１）と同じように考えればよいでしょう。

すいません。(2)の問題文が間違ってました。

(2) 族L_Q={[a,b);a,b∈Q,a<b}はR上のlower limit topologyとは異なる位相を生成する開基である事を証明せよ。
でした。

(2)の証明
示す事はL_Q:={[a,b);a,b∈Q,a<b}が開基になっている事とL_Qによって生成される位相とlower limit topologyが等しくない事です。
L_Qが開基になる事は
まずRの任意の開集合Uをとる。任意のx∈Uに対し,x∈(r,s)⊂Uなるr,s∈Rが存在する(∵Uは開区間からなる集合)。
この時,r<a≦x<b<sなるQの元a,bが存在する。よってx∈[a,b)⊂(r,s)⊂U.
よって補題からL_QはRの開基である。
次にL_Qによって生成される位相L'は{U∈2^R;∀x∈U,∃b∈L_Q;x∈b⊂U}と書ける(∵開基によって生成される位相の定義)。
また,lower limit topology Lは{U∈2^R;∀x∈U,∃b∈L_R;x∈b⊂U}(但しL_R={[a,b);a,b∈R,a<b})と書ける(∵lower limit topologyの定義)。
あとはL≠L'を言えばよい。
L⊂L'であるか確かめてみると
任意のLの元Uをとると任意のUの元xに対し,x∈b⊂UなるL_Rの元bがとれる。このbを[r,s)(r,s∈R,r<s)と書く事にすると
もし,rがQの元でなく,しかもx=rの時,x∈[p,q)⊂Uなる有理数pがとれない。
従って,LはL'に含まれない。　∴L≠L'。
よってL_QはR上のlower limit topologyとは異なる位相を生成する開基である。(終)

回答No.6

koko_u_

>「rからsの開区間の任意の元xに対し,r<q<x<p<sなるQの元p,qが存在する」となると思います。

じゃあ、その証明も付けといて。

お礼

どうもありがとうございました。
とても勉強になりました。

回答No.5

kabaokaba

＞＞∀U∈T(TはRの位相(開集合の族))に対し,U=(r,s) (r,s∈R∪{±∞})と書ける。
＞位相空間Rの開集合は開区間(a,b)と思ってましたが

だめ。。全然わかってないです．自分で
===========
[定義] Bが{(a,b);a,b∈R,a<x<b}ならばBによって生成される位相をstandard topologyという。
========
って書いてるでしょう？
Rの標準位相はBで生成されるっていってるが
Bそのものが位相だなんてひとことも書いてない．
Rの開集合で開区間ではないものなんて，
たとえば(0,1)と(2,3)の和集合なんてどうなる？

>それ以外での位相の場合ででも考えないといけないのですね。
それ以外の位相なんてのはありません．
Rには標準位相が入れてあるのでしょう？

整理：
・Rには「標準位相」が入っている．
・Rの標準位相とは開区間の集合で生成された位相である
・Rの部分集合族として，両端が有理数であるものを集めB_Qとする
・B_Qが標準位相をいれたRの開基であることを示す

まあ，内容的にはほとんど正解なんだけど，入り口部分，
この問題の本質である「定義の理解」ができてないのですよ．

(2)の方は(1)ができればほとんど同じです．
これをソージェンフリー直線といいます．

お礼

どうもありがとうございました。
とても勉強になりました。

回答No.4

koko_u_

>∀U∈T(TはRの位相(開集合の族))に対し,U=(r,s) (r,s∈R∪{±∞})と書ける。

補題では、U は「一般の」開集合であることを要求されているので、
そんな単純な場合だけを考えてもダメです。

何度も言いますが、記号論理式を使うのを止めて、日本語で回答を書いて下さい。
例えば「それで∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<q<x<p<s. 」と書いていますが、意味を理解できていますか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

> 補題では、U は「一般の」開集合であることを要求されているので、
> そんな単純な場合だけを考えてもダメです。

位相空間Rの開集合は開区間(a,b)と思ってましたがそれ以外での位相の場合ででも考えないといけないのですね。
うーん,それではどのようにして示せばいいのでしょうか?
すいません。お教え下さい。m(_ _)m

> 何度も言いますが、記号論理式を使うのを止めて、日本語で回答を書いて下さい。
> 例えば「それで∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<q<x<p<s. 」と書いていますが、意味を理解できていますか？

はい一応、、、
「rからsの開区間の任意の元xに対し,r<q<x<p<sなるQの元p,qが存在する」となると思います。

回答No.3

ojisan7

(1)と(2)はせっかく補題が与えられているのですから、補題の条件が成り立っていることを確認するだけでいいんです。そのこと自体は簡単に解決しますよね。しかし、その先のことが気がかりになりませんか。たとえば、Bの生成する位相と、B_Qの生成する位相は同じ位相でしょうか。実際、２つの基は同じ位相を誘導しますが、そのことを考える（証明する）方が面白いですよね。
No1さん、No2さんのアドバイスにもあるように数学は記号の記述よりもその、内容（本質）を理解することが大切ですし、本質を理解することにより数学の学習に、さらに興味を持って臨むことが出来るのではないでしょうか。

お礼

ご回答誠にありがとうございます。
なんとか考えてみました。

(1)の証明
B_QがRの開基になる事。B_Qによって生成された位相S'が標準位相Sと等しくなる事。
を示せばいいですね。
B_QがRの開基になる事は∀U∈T(TはRの位相(開集合の族))に対し,U=(r,s) (r,s∈R∪{±∞})と書ける。
それで∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<q<x<p<s.
従ってx∈(p,q)⊂(r,s)なので補題が使えて,B_QはRの開基となる。
B_Qによって生成される位相S'は{U∈T;∀x∈U,∃b∈B_Q such that x∈b⊂U}
標準位相Sは標準位相の定義から{U∈T;∀x∈U,∃b∈B_R such that x∈b⊂U}
(B_R={(a,b);a,b∈R,a<b})
S⊃S'は明らかなのでS⊂S'を示す。
∀(r,s)∈S,∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<p<x<q<sなのでx∈(p,q).
よって(r,s)∈S' ∴ S=S'

(2)の証明
示す事はL_Q:={[a,b);a,b∈Q,a<b}が開基になっている事とL_Qによって生成される位相とlower limit topologyが等しくない事です。
L_Qが開基になる事は∀(a,b)∈T,∀x∈(a,b),∃p,q∈Q;a<p<x<q<bなのでx∈(p,q)⊂(r,s).
よって補題からL_QはRの開基になる。
L_Qによって生成される位相L'は{U∈T;∀x∈U,∃b∈L_Q;x∈b⊂U}と書ける。
また,lower limit topology Lは{U∈T;∀x∈U,∃b∈L_R;x∈b⊂U}
(L_R={[a,b);a,b∈R,a<b})と書ける。
あとはL≠L'を言えばおしまいなのですが
∀(r,s)∈L,∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<p<x<q<sなのでx∈(p,q)⊂(s,t).
でL⊂L'. L⊃L'も同様に言えてしまいます。
どうすればL≠L'が示せるのでしょうか?

回答No.2

kabaokaba

>とりあえず何を示せばいいのかお教え下さい。

定義を示せばよい．

記号で書いてるから意味不明になるってだけ．
きっちり「自分の言葉」で書き下して「理解」すること．
位相は記号演算だけで理解できるようなものではなく
絵を書いたり，例を作ったりしてイメージを身に付けないとだめ．
逆に適切な直観を養えれば，見ただけで証明が分かる．
この(1)と(2)もそういう種類の問題．

お礼

ご回答誠にありがとうございます。
なんとか考えてみました。

(1)の証明
B_QがRの開基になる事。B_Qによって生成された位相S'が標準位相Sと等しくなる事。
を示せばいいですね。
B_QがRの開基になる事は∀U∈T(TはRの位相(開集合の族))に対し,U=(r,s) (r,s∈R∪{±∞})と書ける。
それで∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<q<x<p<s.
従ってx∈(p,q)⊂(r,s)なので補題が使えて,B_QはRの開基となる。
B_Qによって生成される位相S'は{U∈T;∀x∈U,∃b∈B_Q such that x∈b⊂U}
標準位相Sは標準位相の定義から{U∈T;∀x∈U,∃b∈B_R such that x∈b⊂U}
(B_R={(a,b);a,b∈R,a<b})
S⊃S'は明らかなのでS⊂S'を示す。
∀(r,s)∈S,∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<p<x<q<sなのでx∈(p,q).
よって(r,s)∈S' ∴ S=S'

(2)の証明
示す事はL_Q:={[a,b);a,b∈Q,a<b}が開基になっている事とL_Qによって生成される位相とlower limit topologyが等しくない事です。
L_Qが開基になる事は∀(a,b)∈T,∀x∈(a,b),∃p,q∈Q;a<p<x<q<bなのでx∈(p,q)⊂(r,s).
よって補題からL_QはRの開基になる。
L_Qによって生成される位相L'は{U∈T;∀x∈U,∃b∈L_Q;x∈b⊂U}と書ける。
また,lower limit topology Lは{U∈T;∀x∈U,∃b∈L_R;x∈b⊂U}
(L_R={[a,b);a,b∈R,a<b})と書ける。
あとはL≠L'を言えばおしまいなのですが
∀(r,s)∈L,∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<p<x<q<sなのでx∈(p,q)⊂(s,t).
でL⊂L'. L⊃L'も同様に言えてしまいます。
どうすればL≠L'が示せるのでしょうか?

回答No.1

koko_u_

記号論理式をいじくりまわすのを止めて、日本語で考えましょう。

お礼

ご回答誠にありがとうございます。
なんとか考えてみました。

(1)の証明
B_QがRの開基になる事。B_Qによって生成された位相S'が標準位相Sと等しくなる事。
を示せばいいですね。
B_QがRの開基になる事は∀U∈T(TはRの位相(開集合の族))に対し,U=(r,s) (r,s∈R∪{±∞})と書ける。
それで∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<q<x<p<s.
従ってx∈(p,q)⊂(r,s)なので補題が使えて,B_QはRの開基となる。
B_Qによって生成される位相S'は{U∈T;∀x∈U,∃b∈B_Q such that x∈b⊂U}
標準位相Sは標準位相の定義から{U∈T;∀x∈U,∃b∈B_R such that x∈b⊂U}
(B_R={(a,b);a,b∈R,a<b})
S⊃S'は明らかなのでS⊂S'を示す。
∀(r,s)∈S,∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<p<x<q<sなのでx∈(p,q).
よって(r,s)∈S' ∴ S=S'

(2)の証明
示す事はL_Q:={[a,b);a,b∈Q,a<b}が開基になっている事とL_Qによって生成される位相とlower limit topologyが等しくない事です。
L_Qが開基になる事は∀(a,b)∈T,∀x∈(a,b),∃p,q∈Q;a<p<x<q<bなのでx∈(p,q)⊂(r,s).
よって補題からL_QはRの開基になる。
L_Qによって生成される位相L'は{U∈T;∀x∈U,∃b∈L_Q;x∈b⊂U}と書ける。
また,lower limit topology Lは{U∈T;∀x∈U,∃b∈L_R;x∈b⊂U}
(L_R={[a,b);a,b∈R,a<b})と書ける。
あとはL≠L'を言えばおしまいなのですが
∀(r,s)∈L,∀x∈(r,s),∃p,q∈Q;r<p<x<q<sなのでx∈(p,q)⊂(s,t).
でL⊂L'. L⊃L'も同様に言えてしまいます。
どうすればL≠L'が示せるのでしょうか?