数学の質問です．次のことを証明してください

質問

(1)A_iは開集合であり，Aに含まれる開集合のうち最大のものである
(2)（A∩B）_i = A_i ∩B_i
※ちなみにA，Bどちらも開集合という前提ではない

よろしくお願いします．

A_iはAの内点全体の集合を表し，

空間の点xがAの内点であるとは，
∃r ＞ 0 , U(x,r) ⊂ A
Aの内点全体の集合をA_iで表すことにする
※U(x,r)はxを中心とする半径rの開円板

と定義されています．

回答No.1

hitomura · ベストアンサー

何かの練習問題ぽいのでヒントだけ。

(1)
A_iが開集合であることは開集合の定義を調べればわかります。
Aに含まれる開集合のうち最大であることは、任意のAに含まれる開集合Oに対して、その内部の点がすべてAの内点であることを示し、A_i⊇Oを証明します。

(2)
集合が同一であることを示す場合は比較するもの同士が相手の部分集合になっていることを示します。
(2-1)(A∩B)_i ⊆ A_i ∩B_i
(A∩B)_iの任意の点xに対して、U(x,r) ⊂A∩Bを満たすr>0があります。このU(x,r)がAにたいしてどういう関係か考えればよく、B_iについては「B_iについても同様に」の一文で省略し、その結論から(A∩B)_i ⊆ A_i ∩B_iをいえばいいのです。
(2-2)(A∩B)_i ⊇ A_i ∩B_i
A_i ∩B_iの任意の点xに対して、A_iに含まれることからU(x,r_a) ⊂Aを満たすr_a>0があります。B_iについても同様にU(x,r_b) ⊂Bを満たすr_b>0があります。このr_aとr_bからU(x,r) ⊂A∩Bを満たすr>0を求められるはずです。
ところで、私はわざと空集合の場合を考慮に入れませんでした。それは自分で考えてください。

お礼

ありがとうございます！！ヒントから考えて解くことができたと思います．