この定積分が出来ません

質問

∫[0.8～0.6] {(4/9)x+(x/(6.25*(1-x)))}^(1/2)
です。ヒントだけでもお願いします。
答えは0.167です。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

２つ続けて質問ですが，こちらの
(1)　　∫[0.8～0.6] {(4/9)x+(x/(6.25*(1-x)))}^(1/2) dx
が正しくて，前の No.581645 はミスプリですか？

さて，(1)はおそらく解析的にはできません．
楕円積分の組み合わせになってしまうように思います．
積分は下限が 0.6 で 上限が 0.8 ですか．
それなら [0.6～0.8] と書くのが普通と思います．
まあ，テキストファイルで式を書いているのですから，
厳格な決まりがあるわけではありませんがね．
明確にするなら [from 0.6 to 0.8] とか [0.6 → 0.8] とか書けばいいか．

というわけで，数値積分しかしょうがないでしょう．
楕円積分で書き直しても，結局「それで，どれくらいの大きさの値なの？」
ということになりますし．

ちょっと数値積分やってみましたところ，0.167223 になりました．
なお，前の質問の
(2)　　∫[0.8～0.6]　{(4/9)x+(4x/(1-x))}^(1/2) dx
でしたら 0.631941 です．

お礼

スイマセンm(__)mお察しの通り、No.581645はミスプリです。
初等的なやり方では無理な積分もあるんですね。
勉強になりました。ありがとうございます。

回答No.3

mmky

siegmund先生やibm_111さんの回答は出てますので、簡便なやり方を参考程度に、
面積を求めるということですから、
何点か取って面積加算法で計算するやり方がありますね。高さは前後の点の加算平均を使います。

f(x)={(4/9)x+(x/(6.25*(1-x)))}^(1/2)
Δx=0.05
f(0.6)=A
=√{(6/10)(4/9)+(0.6/6.25*0.4)}=0.712
f(0.65)=B
=√{(6.5/10)(4/9)+(0.65/6.25*0.35)}=0.766
f(0.7)=C
=√{(7/10)(4/9)+(0.7/6.25*0.3)}=0.827
f(0.75)=D
=√{(7.5/10)(4/9)+(0.75/6.25*0.25)}=0.902
f(0.8)=E
=√{(8/10)(4/9)+(0.8/6.25*0.2)}=0.998
(1/2){(A+B)+(B+C)+(C+D)+(D+E)}*Δx=
(0.7385+0.7965+0.8645+0.95)*0.05=0.1674
小数点3桁の精度でというと5点取れば十分ですね。
参考程度ですね。

お礼

なるほどですね、青二才もんで数値積分ってどうやるのか分からなかったんですが、よく分かりました。目から鱗でした。ありがとうございます。

回答No.2

noname#108554

Mathematicaにやらせてみると、
ApellF1という聞いたことのない特殊関数が出てきたので
おそらく初等超越関数の範囲では積分は無理なのでしょう。

数値的にやるしかないってことです。

お礼

いろいろ試行錯誤してみたのは無駄だったんですね。
ありがとうございました。