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積分

fは[0、∞)上の連続関数limf(x)=1を」満たしているものとする。               x→∞ このとき lim  α∫e∧(-αx)f(x)dx=1 α→+0 (0→∞) を示せ。ヒントあるいは使用する定理を教えてください。

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回答No.1

y=αxとおくと 与式= lim ∫e^{-y}f(y/α)dy (積分は0から∞まで)となる. f(x)の最大値をMとして 右辺の積分を 0から√αまで行うと√αM以下 またαが充分に小さいときに 右辺の積分を√αから∞まで行うと e^{-√α}に充分近くなる. (ここは詳しい計算は略しました) するとα→+0のとき積分→1がわかる. (正確にはε-δ論法を使って議論する) こんな感じでどうでしょうか?

taktta
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