広義積分だと思います。

質問

f(x)を[0,+∞)上で定義された正値連続関数とします。

lim f(x)/x (x→+∞)が有限確定値として存在するとき

　　　∫[0,+∞] dx/f(X) = +∞

が成り立つことを示したいのですが

具体的にf(X)に一次以下の関数を入れてみると成り立つことはイメージできるのですが証明を一体どのようにしていけばいいか分かりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

定義に戻ればどうってことないと思います。

fが正値というのは
∀x(x∈[0,∞)⇒f(x)>0)…(1)
ってこと。そうすると、
∀x(x∈[0,∞)⇒1/f(x)>0)…(1')
である。だからもし
∃y(y≧0 ∧ ∫[y,+∞]dx/f(x)=+∞ )…(2)
が言えれば、(1')から
∫[0,+∞]dx/f(x)=+∞
は自明です。

一方、f(x)/xがx→+∞で有限確定値に収束するということは
∃c(lim f(x)/x = c ∧ c∈(-∞,∞))…(3)
であり、(1)を考慮すると
∃c(lim f(x)/x = c ∧ c∈[0,∞))…(3')
ということです。そのc(c>0)を使って(3')を書き換えると
∀ε(ε>0 ⇒ ∃y(y≧0 ∧　∀x(x>y⇒-ε<f(x)/x-c<ε)))…(3")
である。

あとは一本道です。
∀ε(ε>0 ⇒ ∃y(y≧0 ∧　∀x(x>y⇒1/((c+ε)x)<1/f(x))))
従って、
∀ε(ε>0 ⇒ ∃y(y≧0 ∧　∫[y,+∞]dx/((c+ε)x)<∫[y,+∞]dx/f(x)))
そしてc+ε>0から
∀ε∀y(ε>0∧y≧0 ⇒ ∫[y,+∞]dx/((c+ε)x)=+∞）
は自明ですから、
∀ε(ε>0 ⇒ ∃y(y≧0 ∧ ∫[y,+∞]dx/f(x)=+∞))
ゆえに
∃y(y≧0 ∧ ∫[y,+∞]dx/f(x)=+∞）
これで(2)が言えました。

お礼

ありがとうございます。やっと解くことができました