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「　f　を集合　Ｘ　から　位相空間（Ｙ、U)への全射とするとき、以下を

「　f　を集合　Ｘ　から　位相空間（Ｙ、U)への全射とするとき、以下を示せ。 １．Ｔ＝｛　f＾－１（u）｜uはUに含まれる｝とおくとき、ＴはＸ上の位相である。 ２．Ｔは　f　を（Ｘ、Ｔ）から（Ｙ、U)への連続写像とするＸ上の最小の位相である。」 という問題についての質問です。 まず、１番は　位相の三つの条件を一つずつチェックして行けば良いので、大体はわかったのですが、　最も基本的な条件である、「Tが空集合とＸ自身を含む」というのが示せませんでした。これはどのようにして示すのでしょうか？ それから、2番について、連続写像であることは　f　の定義の仕方から明らかだと思うのですが、 「最小の位相である」という部分はどのようにして示せばよいのでしょうか？ よろしくお願いします。

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  • ベストアンサー
  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)
回答No.1

１． φ∈Tは、f^-1(φ)=φから。 X∈Tは、f^-1(Y)=Xから。(fは写像だからXのどの元の像もYに入る) ２． X上に適当な位相Vを取って、Vでfが連続という条件からT⊆Vを示す。 まあ自明ですが。

hoakas
質問者

お礼

１番に関しては、そもそも　全射の定義を勘違いしていたようです。 ２番は　教えて頂いたやりかたで　証明できました。 お礼が遅れてすみませんでした。 おかげさまで　解答を作れそうです。 ありがとうございました。

hoakas
質問者

補足

迅速な回答ありがとうございます。 今　考え中です。また二、三日したら ご返答したいと思います。（すみません　今　やらなければならないことが多すぎて・・・）

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