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ひとつのサイコロをn回・・・

(2)の期待値を求めるものが解けません(1)は解けたのですが。 座標平面状の原点から動点P(x,y)がサイコロを投げて1~4ならx方向に+1、5,6ならy方向に+1進みます。 n回投げたとき (1)x-y=k  (-k≦n≦k)である確立は? x方向(→)に進む確立はp=2/3 y方向(↑)に進む確立はq=1/3 ↑…i回、→n-i回すすむとして x-y=i-(n-i)=2i-n=k ∴i=(n+k)/2 よって求める確立Pnは n+kが奇数:Pn=0 n+kが奇数:Pn=n_C_i・p^{i}・q^{n-i}(=Piとおく)(i,p,qを代入) (2)期待値を求める

質問者が選んだベストアンサー

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  • tancoro
  • ベストアンサー率52% (11/21)
回答No.2

こんにちは、ONEONEさん。回答は既に出ているのですが・・。問題を若干改良して以下のように考えてみます。 【改問】 サイコロで1、2、3、4が出た場合当たりとし、5、6が出た場合をはずれとします。n回投げた時x回当たりが出る確率は? この確率を求めるために、次ように考えます。 1)n回中、x回の当たりと n-x回のはずれが出る。 2)x回の当たりとn-x回のはずれの出現パターンは、nCx通りある。 つまり、確率 b(x:n, 2/3)は、 b(x:n,2/3) = nCx * (2/3)^x * (1/3)^(n-x) ------ (1) となります。 次に確率の総和を考えてみます。 Σ[x=0~x=n] b(x:n,2/3) = Σ[x=0~x=n] nCx(2/3)^x(1/3)^(n-x) ここで、右辺をよく見ると[(2/3)+(1/3)]^nを二項展開した時の式になっていることに気づくと思います。よって、 Σ[x=0~x=n] b(x:n,2/3) = [(2/3)+(1/3)]^n = 1^n = 1 ------ (2) となります。 また、期待値 E[x]は、 E[x] = Σ[x=0~x=n] x * b(x:n,2/3) = Σ[x=0~x=n] x * nCx * (2/3)^x(1/3)^(n-x) = n * (2/3) * Σ[x=1~x=n] (n-1)C(x-1) * (2/3)^(x-1) * (1/3)^(n-x) = n * (2/3) * Σ[x=0~x=n-1] b(x:n-1,2/3) = n * (2/3) * 1 = n * (2/3) ------ (3) となります。 ここで、(1),(2),(3)を頭に入れて本題を考えて見ましょう。 改問の、n回サイコロを振ってx回当たりが出る確率。これは、n-x回はずれが出る確率でもあります。 また、n回中x回当たりが出現した時の x - y は、必ず x-(n-x) = 2x-n となります。よって求める期待値は、 E[x-y] = Σ[x=0~x=n] (2x-n) * b(x:n,2/3) = 2 * Σ[x=0~x=n] x * b(x:n,2/3) - n * Σ[x=0~x=n] b(x:n,2/3) = 2 * E[x] - n * 1 = 2 * n * (2/3) - n = n/3 となります。 以上です。参考までに・・・

ONEONE
質問者

お礼

どうもありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)
回答No.1

なんの期待値を求めたいのか、明記されていませんが、 きっとX-Yの期待値なんでしょう。 上にi回、右にn-i回進んだとき、x-y=2i-n 従って、求める期待値は Σ(i=0~n) (2i-n)*{nCi*p^i*(1-p)^(n-i)} =2*np-n=n(2p-1)=n/3 ここで、Σ(i=0~n)i*{nCi*p^i*(1-p)^(n-i)}は、2項定理Bin(n,p)の期待値npであり、 Σ(i=0~n){nCi*p^i*(1-p)^(n-i)}は、2項定理から1であることを使いました。

ONEONE
質問者

お礼

どうもありがとうございました。

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